ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 765 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно с радиусами \(R\) и \(r\) касаются внутренним образом в точке \(O\) (рис. 240). Докажите, что окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).

Окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).

Окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{R}{r}\). Рассмотрим точку \(O_2\) на окружности 2. Проведем прямую \(O_2O\), которая является касательной к окружности 1 в точке \(O\). Так как окружности касаются внутренним образом, угол между прямой \(O_2O\) и радиусом \(O_1O\) равен 90°. Тогда треугольник \(O_1OO_2\) является прямоугольным. По теореме Фалеса, \(\frac{O_1O}{OO_2} = \frac{R}{r}\). Следовательно, окружность с центром \(O_1\) является образом окружности с центром \(O_2\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{R}{r}\).