Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 766 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Окружность с центром \(O\) касается прямой \(a\). Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром \(A\), где \(A\) — произвольная точка прямой \(a\) (рис. 241), касается этой прямой.
Окружность с центром \(O\) касается прямой \(a\). Произвольная точка \(A\) лежит на прямой \(a\). Образ этой окружности при гомотетии с центром \(A\) также касается прямой \(a\). Доказательство: так как \(OH \perp a\), то \(OH’ \perp a\) (свойство перпендикулярности при гомотетии); \(OH = OH’\), значит, \(H’\) лежит на окружности с центром \(A\) (свойство гомотетии); следовательно, \(H’\) является точкой касания окружности с центром \(A\) и прямой \(a\).
1. Рассмотрим окружность с центром в точке \(O\), которая касается прямой \(a\). Это означает, что существует единственная точка касания, обозначим её как \(H\), и радиус \(OH\) перпендикулярен прямой \(a\), то есть \(OH \perp a\).
2. Пусть точка \(A\) — произвольная точка на прямой \(a\). Нам нужно рассмотреть гомотетию с центром в точке \(A\) и некоторым коэффициентом \(k\). При гомотетии каждая точка окружности с центром \(O\) отображается в новую точку, и образ окружности будет новой окружностью с центром в точке \(O’\), которая является образом точки \(O\) при этой гомотетии.
3. Определим положение точки \(O’\). Так как гомотетия с центром \(A\) и коэффициентом \(k\) отображает точку \(O\) в \(O’\), то вектор \(\overrightarrow{AO’}\) равен \(k \cdot \overrightarrow{AO}\). Это означает, что точка \(O’\) лежит на прямой, проходящей через \(A\) и \(O\), и её положение зависит от значения \(k\).
4. Теперь рассмотрим точку касания \(H\). Так как \(H\) лежит на прямой \(a\), а центр гомотетии \(A\) также лежит на прямой \(a\), то образ точки \(H\), обозначим его как \(H’\), также будет лежать на прямой \(a\). Это следует из свойства гомотетии: прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя.
5. Далее, поскольку \(OH \perp a\), а гомотетия сохраняет углы и параллельность (при \(k > 0\)) или меняет направление на противоположное (при \(k < 0\)), то отрезок \(O'H'\) также будет перпендикулярен прямой \(a\), то есть \(O'H' \perp a\). Это свойство вытекает из того, что гомотетия является преобразованием подобия. 6. Рассмотрим радиусы окружностей. В исходной окружности радиус \(OH\) равен расстоянию от центра \(O\) до точки касания \(H\). В образе окружности радиус равен \(O'H'\). Так как гомотетия с коэффициентом \(k\) изменяет все расстояния в \(|k|\) раз, то \(O'H' = |k| \cdot OH\). 7. Поскольку \(H'\) — это точка на прямой \(a\), а \(O'H' \perp a\), и \(H'\) лежит на образе окружности (так как \(H'\) — образ точки \(H\), принадлежащей исходной окружности), то \(H'\) является точкой касания новой окружности с центром \(O'\) и прямой \(a\). 8. Таким образом, мы показали, что образ окружности при гомотетии с центром \(A\) касается прямой \(a\) в точке \(H'\). Это следует из того, что радиус \(O'H'\) перпендикулярен прямой \(a\), а \(H'\) принадлежит как прямой \(a\), так и образу окружности. 9. Заметим, что выбор коэффициента \(k\) не влияет на факт касания, так как свойство перпендикулярности и принадлежность точки касания сохраняются при любом \(k \neq 0\). 10. Итак, мы доказали, что образ окружности с центром \(O\) при гомотетии с центром \(A\), где \(A\) — произвольная точка прямой \(a\), также касается прямой \(a\).
