ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 766 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Окружность с центром \(O\) касается прямой \(a\). Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром \(A\), где \(A\) — произвольная точка прямой \(a\) (рис. 241), касается этой прямой.

Краткий ответ:

Окружность с центром \(O\) касается прямой \(a\). Произвольная точка \(A\) лежит на прямой \(a\). Образ этой окружности при гомотетии с центром \(A\) также касается прямой \(a\). Доказательство: так как \(OH \perp a\), то \(OH’ \perp a\) (свойство перпендикулярности при гомотетии); \(OH = OH’\), значит, \(H’\) лежит на окружности с центром \(A\) (свойство гомотетии); следовательно, \(H’\) является точкой касания окружности с центром \(A\) и прямой \(a\).

Подробный ответ:

Окружность с центром \(O\) касается прямой \(a\). Произвольная точка \(A\) лежит на прямой \(a\). Образ этой окружности при гомотетии с центром \(A\) также касается прямой \(a\). Доказательство: пусть \(H\) — точка касания окружности с центром \(O\) и прямой \(a\). Тогда \(OH \perp a\). При гомотетии с центром \(A\) точка \(H\) переходит в точку \(H’\). Так как \(OH = OH’\) (свойство гомотетии), то \(OH’ \perp a\) (свойство перпендикулярности при гомотетии). Следовательно, \(H’\) лежит на окружности с центром \(A\), так как \(OH’ = OH\) (свойство гомотетии). Таким образом, \(H’\) является точкой касания окружности с центром \(A\) и прямой \(a\). Поэтому образ окружности с центром \(O\) при гомотетии с центром \(A\) также касается прямой \(a\).

Оцени решение