ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 769 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка \(A_1 (x; 4)\) — образ точки \(A (-6; y)\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:

1) \(k = \frac{1}{2}\);

2) \(k = -2\).

Найдите \(x\) и \(y\).

Краткий ответ:

Для \(k = \frac{1}{2}\):
По формуле гомотетии \(x_1 = k \cdot x\), получаем \(x = \frac{1}{2} \cdot (-6) = -3\).
Для \(y\): \(4 = \frac{1}{2} \cdot y\), значит \(y = 4 \cdot 2 = 8\).
Ответ: \(x = -3\), \(y = 8\).

Для \(k = -2\):
По формуле \(x_1 = k \cdot x\), получаем \(x = -2 \cdot (-6) = 12\).
Для \(y\): \(4 = -2 \cdot y\), значит \(y = \frac{4}{-2} = -2\).
Ответ: \(x = 12\), \(y = -2\).

Подробный ответ:

Мы решаем задачу о гомотетии с центром в начале координат \(O(0; 0)\). Гомотетия — это преобразование, при котором координаты точки умножаются на коэффициент \(k\). Формулы для координат новой точки \(A_1(x_1; y_1)\) из исходной точки \(A(x; y)\) выглядят так: \(x_1 = k \cdot x\) и \(y_1 = k \cdot y\). У нас есть точка \(A(-6; y)\), ее образ \(A_1(x; 4)\) и два случая с разными значениями \(k\). Нам нужно найти \(x\) и \(y\) для каждого случая.

Рассмотрим первый случай, где \(k = \frac{1}{2}\). Это означает, что координаты исходной точки умножаются на \(\frac{1}{2}\). Для координаты \(x_1\), которая является образом \(x = -6\), применяем формулу \(x_1 = k \cdot x\). Подставляем значения: \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot (-6) = -3\). Таким образом, \(x = -3\). Теперь найдем \(y\). Из условия известно, что \(y_1 = 4\), и по формуле \(y_1 = k \cdot y\), подставляем: \(4 = \frac{1}{2} \cdot y\). Чтобы найти \(y\), умножим обе части на 2: \(y = 4 \cdot 2 = 8\). Итак, для первого случая \(x = -3\), \(y = 8\).

Перейдем ко второму случаю, где \(k = -2\). Здесь координаты умножаются на \(-2\), что означает не только изменение масштаба, но и отражение относительно начала координат. Начнем с координаты \(x_1\). По формуле \(x_1 = k \cdot x\), подставляем значения: \(x_1 = -2 \cdot (-6) = 12\). Таким образом, \(x = 12\). Теперь определим \(y\). Из условия \(y_1 = 4\), а по формуле \(y_1 = k \cdot y\), получаем: \(4 = -2 \cdot y\). Чтобы найти \(y\), разделим обе части на \(-2\): \(y = \frac{4}{-2} = -2\). Итак, для второго случая \(x = 12\), \(y = -2\).

Подведем итог. В первом случае с \(k = \frac{1}{2}\) значения координат образа точки \(A_1\) равны \(x = -3\), \(y = 8\). Во втором случае с \(k = -2\) значения координат образа точки \(A_1\) равны \(x = 12\), \(y = -2\). Эти результаты полностью соответствуют заданным условиям задачи.

Оцени решение