ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 77 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(AB\) — диаметр окружности, радиус которой равен \(R\), \(\angle ABC = \alpha\) (рис. 13). Найдите хорду \(AC\).

Дано: \(O\) — центр окружности, \(AB\) — диаметр, \(AB = 2R\), \(\angle ABC = \alpha\). Нужно найти \(AC\).

Поскольку \(AB\) — диаметр, то \(\angle ACB = 90^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) по определению синуса: \(\sin \alpha = \frac{AC}{AB}\).

Отсюда \(AC = AB \cdot \sin \alpha\).

Подставляем \(AB = 2R\): \(AC = 2R \cdot \sin \alpha\).

Ответ: \(AC = 2R \sin \alpha\).

Дано, что \(O\) — центр окружности, а \(AB\) — её диаметр. Из этого следует, что длина отрезка \(AB\) равна удвоенному радиусу окружности, то есть \(AB = 2R\), где \(R\) — радиус. Угол \( \angle ABC = \alpha \) задан, и нам необходимо найти длину хорды \(AC\), которая соединяет точки \(A\) и \(C\) на окружности.

Поскольку \(AB\) — диаметр, по теореме о вписанном угле угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, то есть равен \(90^\circ\). Это значит, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным, и угол \( \angle ACB = 90^\circ \). Таким образом, сторона \(AB\) становится гипотенузой в прямоугольном треугольнике \(ABC\), а стороны \(AC\) и \(BC\) — катетами. Это важный момент, потому что теперь можно использовать свойства прямоугольного треугольника для нахождения неизвестной стороны \(AC\).

В треугольнике \(ABC\) угол \( \angle ABC = \alpha \) известен, и по определению тригонометрической функции синуса для этого угла справедливо равенство \( \sin \alpha = \frac{противолежащий\ катет}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB} \). Отсюда можно выразить длину хорды \(AC\) как произведение гипотенузы на синус угла: \( AC = AB \cdot \sin \alpha \). Подставляя в эту формулу известное значение диаметра \(AB = 2R\), получаем окончательное выражение для длины хорды: \( AC = 2R \cdot \sin \alpha \). Таким образом, длина хорды зависит от радиуса окружности и угла \( \alpha \), и вычисляется по формуле \( AC = 2R \sin \alpha \).