ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 770 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(A_1 (4; y)\) — образ точки \(A (x; -4)\) при гомотетии с центром \(B (1; -1)\) и коэффициентом \(k = -3\). Найдите \(x\) и \(y\).

При гомотетии с центром \(B(1; -1)\) и коэффициентом \(k = -3\), точка \(A(x; -4)\) переходит в \(A_1(4; y)\). Используем формулы: \(x’ = x_b + k \cdot (x — x_b)\) и \(y’ = y_b + k \cdot (y — y_b)\).

Для \(x\): \(4 = 1 + (-3) \cdot (x — 1)\), откуда \(4 = 1 — 3x + 3\), то есть \(4 = 4 — 3x\), значит \(3x = 0\), \(x = 0\).

Для \(y\): \(y = -1 + (-3) \cdot (-4 — (-1))\), то есть \(y = -1 + (-3) \cdot (-3)\), откуда \(y = -1 + 9 = 8\).

Итог: \(x = 0\), \(y = 8\).

Мы решаем задачу о гомотетии, где центр гомотетии находится в точке \(B(1; -1)\), коэффициент гомотетии равен \(k = -3\), а точка \(A(x; -4)\) преобразуется в точку \(A_1(4; y)\). Наша цель — найти значения \(x\) и \(y\), используя формулы гомотетии, которые связывают координаты исходной точки и ее образа.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка плоскости отображается в новую точку с помощью центра гомотетии и коэффициента масштабирования. Формулы для координат образа точки \(A'(x’; y’)\) при гомотетии с центром \(B(x_b; y_b)\) и коэффициентом \(k\) выглядят так: \(x’ = x_b + k \cdot (x — x_b)\) и \(y’ = y_b + k \cdot (y — y_b)\). Эти уравнения показывают, как координаты новой точки зависят от координат исходной точки, центра и коэффициента.

Начнем с координаты \(x\). У нас есть точка \(A_1(4; y)\), значит, \(x’ = 4\). Центр гомотетии \(B(1; -1)\), так что \(x_b = 1\), а коэффициент \(k = -3\). Подставим эти значения в формулу: \(4 = 1 + (-3) \cdot (x — 1)\). Теперь упростим это уравнение. Сначала вычислим правую часть: \(1 + (-3) \cdot (x — 1) = 1 — 3 \cdot (x — 1)\). Раскроем скобки: \(-3 \cdot (x — 1) = -3x + 3\), значит, правая часть становится \(1 — 3x + 3 = 4 — 3x\). Итак, уравнение принимает вид \(4 = 4 — 3x\).

Решим это уравнение для \(x\). Вычтем 4 из обеих сторон: \(4 — 4 = 4 — 3x — 4\), что дает \(0 = -3x\). Теперь разделим обе стороны на \(-3\): \(x = 0\). Таким образом, мы нашли, что координата \(x\) исходной точки \(A\) равна 0.

Перейдем к координате \(y\). У нас есть \(y’\), которое нужно найти, то есть \(y\) в точке \(A_1(4; y)\). Центр гомотетии \(B(1; -1)\), так что \(y_b = -1\), коэффициент \(k = -3\), а координата \(y\) исходной точки \(A\) равна \(-4\). Подставим эти значения в формулу: \(y = -1 + (-3) \cdot (-4 — (-1))\). Упростим выражение внутри скобок: \(-4 — (-1) = -4 + 1 = -3\). Теперь умножим на коэффициент: \((-3) \cdot (-3) = 9\). Итак, правая часть становится \(-1 + 9 = 8\). Значит, \(y = 8\).

Проверим наши вычисления. Для \(x\): если \(x = 0\), то \(4 = 1 + (-3) \cdot (0 — 1) = 1 + (-3) \cdot (-1) = 1 + 3 = 4\), что верно. Для \(y\): если \(y = 8\), то \(8 = -1 + (-3) \cdot (-4 — (-1)) = -1 + (-3) \cdot (-3) = -1 + 9 = 8\), что тоже верно. Значит, наши расчеты правильны.

Итак, мы определили координаты. Исходная точка \(A\) имеет координаты \((0; -4)\), а ее образ \(A_1\) — \((4; 8)\). Значения \(x = 0\) и \(y = 8\) полностью совпадают с условием задачи и результатами вычислений.