ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 771 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию, площадь которой равна 21 см². Найдите площадь данного треугольника.
Площадь треугольника \( S_{ABC} \) состоит из площади трапеции \( S_{AEFC} = 21 \, \text{см}^2 \) и площади меньшего треугольника \( S_{EBF} \): \( S_{ABC} = S_{AEFC} + S_{EBF} = 21 + S_{EBF} \).
Так как \( EF \) — средняя линия, треугольники \( ABC \) и \( EBF \) подобны с коэффициентом \( k = 2 \), а площади относятся как \( k^2 = 4 \): \( S_{ABC} = 4 \cdot S_{EBF} \).
Подставим: \( 4 \cdot S_{EBF} = 21 + S_{EBF} \), откуда \( 3 \cdot S_{EBF} = 21 \), \( S_{EBF} = 7 \, \text{см}^2 \).
Тогда \( S_{ABC} = 4 \cdot 7 = 28 \, \text{см}^2 \).
Ответ: \( 28 \, \text{см}^2 \).
Давайте разберем задачу о нахождении площади треугольника, когда известна площадь трапеции, отсекаемой средней линией. У нас есть треугольник \( ABC \), в котором \( EF \) является средней линией, параллельной стороне \( AC \), и отсекает трапецию \( AEFC \) с площадью \( S_{AEFC} = 21 \, \text{см}^2 \). Наша цель — найти площадь всего треугольника \( S_{ABC} \).
Для начала вспомним, что такое средняя линия треугольника. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне. В данном случае \( EF \) соединяет середины сторон \( AB \) и \( BC \), и \( EF = \frac{1}{2} \cdot AC \). Это свойство средней линии важно для понимания геометрических соотношений в треугольнике.
Теперь обратимся к площадям. Поскольку \( EF \) — средняя линия, она делит треугольник \( ABC \) на две части: меньший треугольник \( EBF \) и трапецию \( AEFC \). При этом треугольники \( ABC \) и \( EBF \) являются подобными с коэффициентом подобия \( k = 2 \), так как \( EF \) делит стороны пропорционально. Для подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть \( \frac{S_{ABC}}{S_{EBF}} = k^2 = 4 \). Это означает, что \( S_{ABC} = 4 \cdot S_{EBF} \).
Далее рассмотрим, как связаны площади всех частей треугольника. Площадь всего треугольника \( ABC \) равна сумме площадей трапеции \( AEFC \) и меньшего треугольника \( EBF \). Запишем это как уравнение: \( S_{ABC} = S_{AEFC} + S_{EBF} \). Подставим известное значение площади трапеции: \( S_{ABC} = 21 + S_{EBF} \).
Теперь у нас есть два выражения для \( S_{ABC} \): первое — \( S_{ABC} = 4 \cdot S_{EBF} \), основанное на подобии треугольников, и второе — \( S_{ABC} = 21 + S_{EBF} \), основанное на сумме площадей. Мы можем приравнять эти выражения, чтобы найти \( S_{EBF} \). Получаем: \( 4 \cdot S_{EBF} = 21 + S_{EBF} \).
Решим это уравнение для нахождения площади меньшего треугольника \( S_{EBF} \). Вычтем \( S_{EBF} \) из обеих сторон: \( 4 \cdot S_{EBF} — S_{EBF} = 21 \), что дает \( 3 \cdot S_{EBF} = 21 \). Теперь разделим обе стороны на 3: \( S_{EBF} = \frac{21}{3} = 7 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь меньшего треугольника равна \( 7 \, \text{см}^2 \).
Осталось найти площадь всего треугольника \( ABC \). Используем соотношение из подобия: \( S_{ABC} = 4 \cdot S_{EBF} = 4 \cdot 7 = 28 \, \text{см}^2 \). Для проверки можно использовать второе выражение: \( S_{ABC} = 21 + S_{EBF} = 21 + 7 = 28 \, \text{см}^2 \). Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.
Итак, площадь треугольника \( ABC \) составляет \( 28 \, \text{см}^2 \). Мы подробно разобрали каждое свойство и шаг, чтобы убедиться в точности вычислений.
