ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 772 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает его сторону \(AB\) в точке \(M\), а сторону \(BC\) — в точке \(K\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM = 4\) см, \(AC = 8\) см, \(AM = MK\), а площадь треугольника \(MBK\) равна 5 см².

Краткий ответ:

Дано: \(BM = 4\) см, \(AC = 8\) см, \(AM = MK\), площадь треугольника \(MBK\) равна \(5\) см\(^2\), \(MK \parallel AC\). Найти площадь треугольника \(ABC\).

Решение: Так как \(MK \parallel AC\), треугольники \(ABC\) и \(MBK\) подобны. Коэффициент подобия \(k = \frac{AC}{MK}\). Пусть \(MK = x\), тогда \(AM = x\), а \(AB = AM + BM = x + 4\). По свойству подобия \(\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MK}\), то есть \(\frac{x + 4}{4} = \frac{8}{x}\). Умножим на \(4x\): \(x(x + 4) = 32\), получаем уравнение \(x^2 + 4x — 32 = 0\). Дискриминант \(D = 16 + 128 = 144\), корень \(x = \frac{-4 + 12}{2} = 4\). Значит, \(MK = 4\) см, и \(k = \frac{8}{4} = 2\). Площади относятся как \(k^2\), поэтому площадь \(ABC\) равна \(2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\) см\(^2\).

Ответ: \(20\) см\(^2\).

Подробный ответ:

Дано: в треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), \(BM = 4\) см, \(AC = 8\) см, \(AM = MK\), площадь треугольника \(MBK\) равна \(5\) см\(^2\), и \(MK \parallel AC\). Нужно найти площадь треугольника \(ABC\).

Начнем с анализа условия. У нас есть треугольник \(ABC\), в котором точка \(M\) делит сторону \(AB\) на отрезки \(AM\) и \(BM\), причем \(BM = 4\) см. Также дана точка \(K\), образующая треугольник \(MBK\), и известно, что \(MK \parallel AC\), а \(AM = MK\). Это означает, что отрезок \(MK\) параллелен основанию \(AC\), и нам нужно использовать свойства параллельных линий и подобия треугольников для решения задачи.

Рассмотрим свойство параллельности. Поскольку \(MK \parallel AC\), то треугольники \(ABC\) и \(MBK\) являются подобными. Это следует из того, что угол при вершине \(B\) общий для обоих треугольников, а углы при вершинах \(C\) и \(K\) равны как соответственные углы при параллельных прямых \(MK\) и \(AC\). Таким образом, мы можем записать, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(MBK\), и их стороны пропорциональны.

Определим коэффициент подобия. Пусть коэффициент подобия между треугольниками \(ABC\) и \(MBK\) равен \(k\). Тогда соотношение соответствующих сторон можно выразить как \(k = \frac{AC}{MK}\). Из условия известно, что \(AC = 8\) см, а длину \(MK\) мы пока не знаем, поэтому обозначим \(MK = x\). Тогда коэффициент подобия будет равен \(k = \frac{8}{x}\).

Теперь учтем условие \(AM = MK\). Поскольку \(MK = x\), то и \(AM = x\). Сторона \(AB\) состоит из отрезков \(AM\) и \(BM\), где \(BM = 4\) см, следовательно, \(AB = AM + BM = x + 4\). В треугольниках \(ABC\) и \(MBK\) сторона \(AB\) соответствует стороне \(BM\), так как вершина \(B\) общая, а точка \(M\) делит \(AB\). Поэтому соотношение сторон можно записать как \(\frac{AB}{BM} = k\), то есть \(\frac{x + 4}{4} = \frac{8}{x}\).

Решаем полученное уравнение. Умножим обе части на \(4x\), чтобы избавиться от знаменателей: \(x \cdot (x + 4) = 4 \cdot 8\), что дает \(x^2 + 4x = 32\). Приведем уравнение к стандартному виду: \(x^2 + 4x — 32 = 0\). Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144\). Корни уравнения: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}\). Берем только положительное значение, так как длина не может быть отрицательной: \(x = \frac{-4 + 12}{2} = 4\). Таким образом, \(MK = 4\) см.

Найдем коэффициент подобия. Поскольку \(MK = 4\) см, а \(AC = 8\) см, то \(k = \frac{8}{4} = 2\). Это означает, что стороны треугольника \(ABC\) в \(2\) раза больше соответствующих сторон треугольника \(MBK\).

Связь площадей подобных треугольников определяется как квадрат коэффициента подобия. То есть отношение площадей равно \(k^2\). Подставим значение \(k = 2\): отношение площадей равно \(2^2 = 4\). Из условия известно, что площадь треугольника \(MBK\) равна \(5\) см\(^2\), следовательно, площадь треугольника \(ABC\) будет в \(4\) раза больше: площадь \(ABC = 4 \cdot 5 = 20\) см\(^2\).

Проверим правильность расчетов. Мы нашли \(MK = 4\) см, \(AM = 4\) см, \(AB = 4 + 4 = 8\) см. Коэффициент подобия по сторонам \(AB\) и \(BM\): \(\frac{AB}{BM} = \frac{8}{4} = 2\), что совпадает с \(k = \frac{AC}{MK} = \frac{8}{4} = 2\). Площади: \(k^2 = 4\), площадь \(MBK = 5\) см\(^2\), значит, площадь \(ABC = 4 \cdot 5 = 20\) см\(^2\). Все сходится.

Ответ: площадь треугольника \(ABC\) равна \(20\) см\(^2\).

Оцени решение