ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 773 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(E\). Найдите площадь трапеции, если \(BC : AD = 3 : 5\), а площадь треугольника \(AED\) равна 175 см².

Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC \parallel AD\), \(BC : AD = 3 : 5\), площадь треугольника \(AED = 175 \, \text{см}^2\). Найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

Решение: треугольники \(AED\) и \(BEC\) подобны по двум углам, коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}\). Площади относятся как квадрат коэффициента подобия: \(\frac{S_{BEC}}{S_{AED}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\). Тогда \(S_{BEC} = \frac{9}{25} \cdot 175 = 63 \, \text{см}^2\). Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = S_{AED} — S_{BEC} = 175 — 63 = 112 \, \text{см}^2\).

Ответ: \(112 \, \text{см}^2\).

Дано: трапеция \(ABCD\), где \(BC \parallel AD\), отношение оснований \(BC : AD = 3 : 5\), площадь треугольника \(AED = 175 \, \text{см}^2\), а боковые стороны \(AB\) и \(CD\), будучи продолженными, пересекаются в точке \(E\). Требуется найти площадь трапеции \(S_{ABCD}\).

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. У нас есть трапеция \(ABCD\) с параллельными основаниями \(BC\) и \(AD\). Продолжения боковых сторон \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\), что образует два треугольника: \(AED\), включающий большее основание \(AD\), и \(BEC\), включающий меньшее основание \(BC\). Нам дана площадь треугольника \(AED\), и мы должны определить площадь всей трапеции.

Проанализируем свойства треугольников \(AED\) и \(BEC\). Поскольку \(BC \parallel AD\), то углы при вершине \(E\) в треугольниках \(AED\) и \(BEC\) являются соответственными углами при параллельных прямых и секущей, а значит, равны. Кроме того, угол при самой точке \(E\) является общим для обоих треугольников. Таким образом, треугольники \(AED\) и \(BEC\) подобны по двум углам, что подтверждает их подобие.

Определим коэффициент подобия этих треугольников. Так как треугольники подобны, то отношение их соответствующих сторон равно. В данном случае соответствующими сторонами являются основания трапеции \(BC\) и \(AD\). По условию, отношение \(BC : AD = 3 : 5\), следовательно, коэффициент подобия \(k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}\).

Теперь вспомним, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Это значит, что \(\frac{S_{BEC}}{S_{AED}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\). Зная площадь треугольника \(AED\), которая равна \(175 \, \text{см}^2\), мы можем найти площадь треугольника \(BEC\). Подставим значения: \(S_{BEC} = \frac{9}{25} \cdot S_{AED} = \frac{9}{25} \cdot 175\).

Вычислим это значение. Сначала умножим \(175\) на \(9\), что дает \(1575\). Затем разделим на \(25\), что равно \(63\). Таким образом, \(S_{BEC} = 63 \, \text{см}^2\). Теперь у нас есть площади обоих треугольников, связанных с трапецией.

Далее определим площадь трапеции \(ABCD\). Если представить треугольник \(AED\) как фигуру, из которой «вырезается» треугольник \(BEC\), то площадь трапеции будет равна разности площадей этих треугольников. Итак, \(S_{ABCD} = S_{AED} — S_{BEC} = 175 — 63 = 112 \, \text{см}^2\).

Проверим логику решения. Треугольник \(AED\) охватывает всю область от точки \(E\) до основания \(AD\), включая трапецию и треугольник \(BEC\). Вычитая площадь \(BEC\) из площади \(AED\), мы действительно получаем площадь трапеции \(ABCD\), что подтверждает правильность подхода.

Таким образом, площадь трапеции \(ABCD\) составляет \(112 \, \text{см}^2\). Это значение логично, так как площадь трапеции меньше площади большего треугольника \(AED\), но больше площади меньшего треугольника \(BEC\), что соответствует геометрической интерпретации.

Ответ: \(112 \, \text{см}^2\).