ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 775 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите образ прямой \(y = 2x + 1\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:
1) \(k = 2\);
2) \(k = -\frac{1}{2}\).
Для \(k = 2\): при гомотетии с центром \(O(0, 0)\) точка \((x, y)\) переходит в \((2x, 2y)\). Подставим в уравнение \(y = 2x + 1\): выразим \(x = \frac{x’}{2}\), \(y = \frac{y’}{2}\), тогда \(\frac{y’}{2} = 2 \cdot \frac{x’}{2} + 1\), то есть \(\frac{y’}{2} = x’ + 1\), откуда \(y’ = 2x’ + 2\). Ответ: \(y = 2x + 2\).
Для \(k = -\frac{1}{2}\): точка \((x, y)\) переходит в \((- \frac{1}{2}x, — \frac{1}{2}y)\). Выразим \(x = -2x’\), \(y = -2y’\), подставим в \(y = 2x + 1\): \(-2y’ = 2 \cdot (-2x’) + 1\), то есть \(-2y’ = -4x’ + 1\), откуда \(2y’ = 4x’ — 1\), а значит \(y’ = 2x’ — \frac{1}{2}\). Ответ: \(y = 2x — \frac{1}{2}\).
Мы решаем задачу о гомотетии прямой с уравнением \(y = 2x + 1\) относительно начала координат \(O(0, 0)\) с коэффициентами \(k = 2\) и \(k = -\frac{1}{2}\). Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка плоскости умножается на коэффициент \(k\) относительно центра гомотетии. В нашем случае центр находится в начале координат, что упрощает вычисления, так как координаты точки \((x, y)\) просто масштабируются на \(k\).
Начнем с коэффициента \(k = 2\). При гомотетии с коэффициентом \(k = 2\) каждая точка \((x, y)\) преобразуется в новую точку \((x’, y’)\), где \(x’ = 2x\) и \(y’ = 2y\). Чтобы найти уравнение образа прямой, нужно выразить старые координаты через новые. Из \(x’ = 2x\) следует, что \(x = \frac{x’}{2}\), а из \(y’ = 2y\) следует, что \(y = \frac{y’}{2}\). Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение прямой \(y = 2x + 1\): \(\frac{y’}{2} = 2 \cdot \frac{x’}{2} + 1\). Упростим это выражение: \(\frac{y’}{2} = x’ + 1\). Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \(y’ = 2x’ + 2\). Таким образом, уравнение образа прямой при \(k = 2\) будет \(y = 2x + 2\).
Теперь перейдем к коэффициенту \(k = -\frac{1}{2}\). В этом случае каждая точка \((x, y)\) преобразуется в точку \((x’, y’)\), где \(x’ = -\frac{1}{2}x\) и \(y’ = -\frac{1}{2}y\). Снова выражаем старые координаты через новые. Из \(x’ = -\frac{1}{2}x\) следует, что \(x = -2x’\), а из \(y’ = -\frac{1}{2}y\) следует, что \(y = -2y’\). Подставим эти выражения в уравнение прямой \(y = 2x + 1\): \(-2y’ = 2 \cdot (-2x’) + 1\). Упростим правую часть: \(-2y’ = -4x’ + 1\). Чтобы избавиться от отрицательного знака, умножим обе стороны на \(-1\): \(2y’ = 4x’ — 1\). Разделим обе стороны на 2: \(y’ = 2x’ — \frac{1}{2}\). Таким образом, уравнение образа прямой при \(k = -\frac{1}{2}\) будет \(y = 2x — \frac{1}{2}\).
Итак, мы получили уравнения образов прямой для обоих коэффициентов гомотетии. Для \(k = 2\) образ прямой описывается уравнением \(y = 2x + 2\), а для \(k = -\frac{1}{2}\) — уравнением \(y = 2x — \frac{1}{2}\). Эти результаты показывают, как изменяется положение прямой при масштабировании относительно начала координат с разными коэффициентами, включая отрицательный, который также изменяет направление.
