Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 776 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите образ окружности \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 4\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:
1) \(k = \frac{1}{2}\);
2) \(k = -2\).
Для гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \(k\) преобразуем окружность \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 4\). Центр окружности \((-2, 4)\), радиус \(R = 2\).
При \(k = \frac{1}{2}\): новый центр \((-2 \cdot \frac{1}{2}, 4 \cdot \frac{1}{2}) = (-1, 2)\), новый радиус \(R’ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\). Уравнение: \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 1\).
При \(k = -2\): новый центр \((-2 \cdot (-2), 4 \cdot (-2)) = (4, -8)\), новый радиус \(R’ = 2 \cdot 2 = 4\). Уравнение: \((x — 4)^2 + (y + 8)^2 = 16\).
Давайте разберем задачу о гомотетии окружности с центром в начале координат \(O(0, 0)\). У нас есть окружность с уравнением \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 4\), и нужно найти ее образ при двух значениях коэффициента гомотетии: \(k = \frac{1}{2}\) и \(k = -2\). Мы будем решать задачу шаг за шагом, чтобы все было максимально понятно.
Сначала определим, что из себя представляет исходная окружность. Уравнение \((x + 2)^2 + (y — 4)^2 = 4\) говорит нам, что это окружность с центром в точке \((-2, 4)\), так как в стандартной форме уравнения окружности \((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = R^2\) координаты центра равны \((x_0, y_0)\). Радиус окружности находится как корень из правой части уравнения, то есть \(R = \sqrt{4} = 2\).
Теперь вспомним, что такое гомотетия. Гомотетия с центром в точке \(O(0, 0)\) и коэффициентом \(k\) преобразует любую точку \((x, y)\) в точку \((k \cdot x, k \cdot y)\). Это значит, что координаты всех точек фигуры умножаются на \(k\), а центр гомотетии остается неподвижным. Для окружности это означает, что центр новой окружности будет иметь координаты \((k \cdot x_0, k \cdot y_0)\), а радиус будет умножен на абсолютное значение коэффициента \(k\), то есть \(R’ = |k| \cdot R\).
Рассмотрим первый случай, когда \(k = \frac{1}{2}\). Для центра исходной окружности \((-2, 4)\) новые координаты будут: \(x_0′ = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1\), \(y_0′ = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\). Таким образом, новый центр находится в точке \((-1, 2)\). Новый радиус вычисляется как \(R’ = |\frac{1}{2}| \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\). Теперь мы можем записать уравнение новой окружности: \((x — (-1))^2 + (y — 2)^2 = 1^2\), что упрощается до \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 1\).
Перейдем ко второму случаю, когда \(k = -2\). Снова вычислим координаты нового центра: \(x_0′ = -2 \cdot (-2) = 4\), \(y_0′ = -2 \cdot 4 = -8\). Таким образом, центр новой окружности находится в точке \((4, -8)\). Новый радиус будет \(R’ = |-2| \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4\). Уравнение новой окружности записывается как \((x — 4)^2 + (y — (-8))^2 = 4^2\), что упрощается до \((x — 4)^2 + (y + 8)^2 = 16\).
Итак, мы получили два уравнения для образов окружности при разных коэффициентах гомотетии. Для \(k = \frac{1}{2}\) уравнение \((x + 1)^2 + (y — 2)^2 = 1\), а для \(k = -2\) уравнение \((x — 4)^2 + (y + 8)^2 = 16\). Мы подробно разобрали, как преобразовываются координаты центра и радиус, чтобы вы могли легко понять процесс решения.
