ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 778 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках \(A_1, A_2, B_1, B_2\) (рис. 244). Докажите, что \(A_1B_1 \parallel A_2B_2\).

Дано: две окружности касаются внешним образом в точке \(M\). Через точку \(M\) проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках \(A_1\) и \(B_1\), а вторую — в точках \(A_2\) и \(B_2\).

Решение: рассмотрим окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\). Точка \(M\) — точка касания, значит, \(O_1M\) и \(O_2M\) лежат на одной прямой. Радиусы \(O_1A_1\), \(O_1B_1\), \(O_2A_2\), \(O_2B_2\) равны соответственно радиусам окружностей. Углы при \(M\) в треугольниках \(O_1A_1M\), \(O_1B_1M\), \(O_2A_2M\), \(O_2B_2M\) равны \(90^\circ\), так как радиус перпендикулярен касательной. Треугольники \(O_1A_1M\) и \(O_2A_2M\), а также \(O_1B_1M\) и \(O_2B_2M\) подобны по двум углам. Значит, углы при \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\) равны, и отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) параллельны.

Итог: \(A_1B_1 \parallel A_2B_2\), что и требовалось доказать.

Дано: две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(M\). Через эту точку проведены две прямые, которые пересекают первую окружность в точках \(A_1\) и \(B_1\), а вторую окружность — в точках \(A_2\) и \(B_2\). Требуется доказать, что отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) параллельны.

Начнём с анализа условия задачи. Поскольку окружности касаются внешним образом в точке \(M\), это означает, что центры \(O_1\) и \(O_2\), а также точка касания \(M\) лежат на одной прямой линии. При этом точка \(M\) находится между центрами \(O_1\) и \(O_2\), а расстояние между центрами равно сумме радиусов окружностей. Радиусы \(O_1M\) и \(O_2M\) являются отрезками, соединяющими центры с точкой касания, и они перпендикулярны общей касательной в точке \(M\).

Теперь рассмотрим точки пересечения прямых с окружностями. У нас есть две прямые, проходящие через точку \(M\). Первая прямая пересекает первую окружность в точке \(A_1\), а вторую окружность — в точке \(A_2\). Аналогично, вторая прямая пересекает первую окружность в точке \(B_1\), а вторую — в точке \(B_2\). Наша цель — показать, что отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) параллельны, то есть они имеют одинаковое направление в плоскости.

Проведём радиусы к точкам пересечения: \(O_1A_1\) и \(O_1B_1\) для первой окружности, а также \(O_2A_2\) и \(O_2B_2\) для второй окружности. Поскольку \(O_1A_1\) и \(O_1B_1\) являются радиусами первой окружности, их длины равны радиусу \(R_1\). Точно так же \(O_2A_2\) и \(O_2B_2\) равны радиусу второй окружности \(R_2\). Важно отметить, что радиусы, проведённые к точке касания \(M\), перпендикулярны касательной, а значит, углы между радиусами \(O_1M\), \(O_2M\) и касательной равны \(90^\circ\).

Рассмотрим треугольники, образованные радиусами и отрезками от точки касания. Возьмём треугольники \(O_1A_1M\) и \(O_1B_1M\) для первой окружности, а также \(O_2A_2M\) и \(O_2B_2M\) для второй окружности. В каждом из этих треугольников угол при вершине \(M\) равен \(90^\circ\), так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, все эти треугольники являются прямоугольными.

Теперь обратим внимание на подобие треугольников. Рассмотрим пару треугольников \(O_1A_1M\) и \(O_2A_2M\). Они оба прямоугольные с прямым углом при \(M\). Кроме того, поскольку прямые, проведённые через точку \(M\), одинаковы для обеих окружностей, углы при вершинах \(O_1\) и \(O_2\), образованные радиусами и отрезками до точки \(M\), связаны с положением точек \(A_1\) и \(A_2\), которые лежат на одной прямой через \(M\). Это позволяет утверждать, что треугольники \(O_1A_1M\) и \(O_2A_2M\) подобны по двум углам.

Аналогичным образом рассмотрим треугольники \(O_1B_1M\) и \(O_2B_2M\). Они также прямоугольные с прямым углом при \(M\), и, поскольку точки \(B_1\) и \(B_2\) лежат на одной прямой через \(M\), углы при вершинах \(O_1\) и \(O_2\) соответствуют друг другу. Следовательно, треугольники \(O_1B_1M\) и \(O_2B_2M\) также подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует важное свойство: соответствующие углы в подобных треугольниках равны. Это означает, что угол между отрезком \(A_1M\) и касательной в точке \(M\) равен углу между отрезком \(A_2M\) и той же касательной. То же самое справедливо для отрезков \(B_1M\) и \(B_2M\). Таким образом, направления отрезков \(A_1M\) и \(A_2M\), а также \(B_1M\) и \(B_2M\), совпадают относительно касательной.

Теперь перейдём к отрезкам \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\). Отрезок \(A_1B_1\) соединяет точки \(A_1\) и \(B_1\) на первой окружности, а отрезок \(A_2B_2\) соединяет точки \(A_2\) и \(B_2\) на второй окружности. Поскольку направления отрезков \(A_1M\) и \(A_2M\), а также \(B_1M\) и \(B_2M\), совпадают, и прямые через точку \(M\) образуют одинаковые углы с касательной для соответствующих точек на окружностях, отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) должны иметь одинаковое направление.

Заключительный шаг: поскольку отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) имеют одинаковое направление в плоскости, они параллельны. Это следует из того, что углы, образованные прямыми через точку \(M\) с касательной, одинаковы для соответствующих пар точек, а значит, отрезки, соединяющие эти точки на каждой окружности, не пересекаются и сохраняют постоянное направление.

Итог: мы доказали, что отрезки \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\) параллельны, то есть \(A_1B_1 \parallel A_2B_2\), что и требовалось показать.