ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 779 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(A\) принадлежит окружности (рис. 245). Найдите геометрическое место точек, являющихся серединами хорд данной окружности, одним из концов которых является точка \(A\).

Давайте решим задачу о геометрическом месте точек, являющихся серединами хорд окружности с одним концом в точке \(A\).

Пусть центр окружности — точка \(O\), радиус — \(R\), точка \(A\) на окружности. Хорда идет от \(A\) к произвольной точке \(X\) на окружности, а \(M\) — середина хорды \(AX\).

Поставим \(O\) в координаты \((0, 0)\), а \(A\) в \((R, 0)\). Точка \(X\) имеет координаты \((R \cos \theta, R \sin \theta)\). Тогда координаты \(M\): \(M_x = \frac{R + R \cos \theta}{2} = \frac{R}{2} (1 + \cos \theta)\), \(M_y = \frac{0 + R \sin \theta}{2} = \frac{R}{2} \sin \theta\).

Выразим \(\cos \theta\) и \(\sin \theta\): \(1 + \cos \theta = \frac{2 M_x}{R}\), \(\sin \theta = \frac{2 M_y}{R}\). Подставим в тождество \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\): \(\left(\frac{2 M_y}{R}\right)^2 + \left(\frac{2 M_x}{R} — 1\right)^2 = 1\). Упростим: \(4 M_x^2 + 4 M_y^2 — 4 R M_x = 0\), то есть \(M_x^2 + M_y^2 — R M_x = 0\), или \(\left(M_x — \frac{R}{2}\right)^2 + M_y^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2\).

Это уравнение окружности с центром в \(\left(\frac{R}{2}, 0\right)\) и радиусом \(\frac{R}{2}\). Значит, геометрическое место точек \(M\) — окружность с центром в середине отрезка от \(O\) до \(A\) и радиусом, равным половине радиуса исходной окружности.

Рассмотрим задачу о геометрическом месте точек, которые являются серединами хорд окружности, один конец которых фиксирован в точке \(A\), лежащей на этой окружности. Мы разберем решение максимально подробно, шаг за шагом, чтобы понять, как получается результат.

Сначала определим, что нам дано. У нас есть окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Точка \(A\) лежит на этой окружности, то есть расстояние от \(O\) до \(A\) равно \(R\). Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности, и в нашем случае один конец хорды всегда находится в точке \(A\), а другой конец — это произвольная точка \(X\), которая также лежит на окружности. Нам нужно найти множество всех точек \(M\), которые являются серединами таких хорд \(AX\), когда точка \(X\) пробегает всю окружность.

Теперь подумаем, что значит «середина хорды». Если \(M\) — середина хорды \(AX\), то отрезки \(AM\) и \(MX\) равны, а координаты точки \(M\) можно найти как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(X\). Кроме того, в окружности есть важное свойство: перпендикуляр, опущенный из центра \(O\) на хорду \(AX\), проходит через середину этой хорды, то есть через точку \(M\). Это свойство нам пригодится для понимания геометрической картины.

Для точности и наглядности решения применим координатный метод. Поместим центр окружности \(O\) в начало координат, то есть в точку \((0, 0)\). Точку \(A\) разместим на оси \(x\), в точку \((R, 0)\), чтобы упростить вычисления. Теперь любая точка \(X\) на окружности может быть задана через угол \(\theta\), который определяет ее положение относительно центра \(O\). Координаты точки \(X\) будут \((R \cos \theta, R \sin \theta)\), так как они удовлетворяют уравнению окружности \(x^2 + y^2 = R^2\).

Далее найдем координаты точки \(M\), которая является серединой хорды \(AX\). Поскольку \(M\) — середина отрезка, соединяющего точки \(A(R, 0)\) и \(X(R \cos \theta, R \sin \theta)\), то ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка. Для оси \(x\): \(M_x = \frac{R + R \cos \theta}{2} = \frac{R}{2} (1 + \cos \theta)\). Для оси \(y\): \(M_y = \frac{0 + R \sin \theta}{2} = \frac{R}{2} \sin \theta\).

Теперь наша цель — найти уравнение траектории точки \(M\), то есть геометрическое место всех таких точек при изменении \(\theta\) от \(0\) до \(2\pi\), что соответствует перемещению точки \(X\) по всей окружности. У нас есть выражения для \(M_x\) и \(M_y\), и мы можем попытаться исключить параметр \(\theta\), используя известное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).

Выразим \(\cos \theta\) и \(\sin \theta\) через \(M_x\) и \(M_y\). Из выражения для \(M_x\): \(1 + \cos \theta = \frac{2 M_x}{R}\), откуда \(\cos \theta = \frac{2 M_x}{R} — 1\). Из выражения для \(M_y\): \(\sin \theta = \frac{2 M_y}{R}\). Подставим эти значения в тождество: \(\left(\frac{2 M_y}{R}\right)^2 + \left(\frac{2 M_x}{R} — 1\right)^2 = 1\).

Раскроем скобки и упростим это уравнение. Первое слагаемое: \(\left(\frac{2 M_y}{R}\right)^2 = \frac{4 M_y^2}{R^2}\). Второе слагаемое: \(\left(\frac{2 M_x}{R} — 1\right)^2 = \left(\frac{2 M_x — R}{R}\right)^2 = \frac{(2 M_x — R)^2}{R^2} = \frac{4 M_x^2 — 4 R M_x + R^2}{R^2}\). Сложим их: \(\frac{4 M_y^2}{R^2} + \frac{4 M_x^2 — 4 R M_x + R^2}{R^2} = 1\).

Умножим обе части на \(R^2\), чтобы избавиться от знаменателя: \(4 M_y^2 + 4 M_x^2 — 4 R M_x + R^2 = R^2\). Вычтем \(R^2\) из обеих частей: \(4 M_x^2 + 4 M_y^2 — 4 R M_x = 0\). Поделим все на 4 для упрощения: \(M_x^2 + M_y^2 — R M_x = 0\).

Полученное уравнение \(M_x^2 + M_y^2 — R M_x = 0\) можно привести к более узнаваемому виду. Выделим полный квадрат по \(M_x\): \(M_x^2 — R M_x = \left(M_x — \frac{R}{2}\right)^2 — \left(\frac{R}{2}\right)^2\). Тогда уравнение принимает вид: \(\left(M_x — \frac{R}{2}\right)^2 — \left(\frac{R}{2}\right)^2 + M_y^2 = 0\), или \(\left(M_x — \frac{R}{2}\right)^2 + M_y^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2\).

Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \(\left(\frac{R}{2}, 0\right)\) и радиусом \(\frac{R}{2}\). Если вспомнить, что точка \(A\) находится в \((R, 0)\), а центр исходной окружности в \((0, 0)\), то центр новой окружности \(\left(\frac{R}{2}, 0\right)\) — это как раз середина отрезка \(OA\), а радиус новой окружности в два раза меньше радиуса исходной.

Теперь интерпретируем результат геометрически. Геометрическое место точек \(M\) — это окружность, которая проходит через точки, являющиеся серединами всех возможных хорд, начинающихся в точке \(A\). Центр этой новой окружности лежит на прямой, соединяющей центр исходной окружности \(O\) и точку \(A\), и находится ровно посередине между ними. Радиус новой окружности равен половине радиуса исходной, что логично, так как середина хорды всегда ближе к центру, чем концы хорды.

Заметим также, что когда точка \(X\) совпадает с точкой \(A\), хорда вырождается в точку, и середина совпадает с \(A\), но в общем случае мы рассматриваем \(X \neq A\), поэтому точка \(A\) может не входить в множество середин в строгом смысле, хотя формально она удовлетворяет условию.

Итак, мы пришли к выводу, что геометрическое место точек, являющихся серединами хорд данной окружности с одним концом в точке \(A\), представляет собой окружность с центром в середине радиуса, соединяющего центр исходной окружности с точкой \(A\), и радиусом, равным половине радиуса исходной окружности.