ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 78 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сторону \( BC \) треугольника \( ABC \), изображённого на рисунке 17 (длина отрезка дана в сантиметрах).

Дано: \( AC = 4\sqrt{2} \), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\).

По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} \).

Тогда \( BC = \frac{AC \cdot \sin \angle A}{\sin \angle B} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \).

Подставляем значения синусов: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Получаем \( BC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3} \).

Ответ: \( BC = 4\sqrt{3} \) см.

В треугольнике \( ABC \) даны сторона \( AC = 4\sqrt{2} \) и углы при вершинах \( A \) и \( B \), равные соответственно \( 60^\circ \) и \( 45^\circ \). Чтобы найти длину стороны \( BC \), сначала нужно понять, как связаны стороны и углы в треугольнике. Сумма всех углов треугольника всегда равна \( 180^\circ \), поэтому можно вычислить третий угол \( C \) по формуле \( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B \). Подставляя значения, получаем \( \angle C = 180^\circ — 60^\circ — 45^\circ = 75^\circ \). Это важно, так как для применения теоремы синусов нужны все углы или хотя бы два угла и одна сторона.

Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Это можно записать так: \( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C} \). В нашем случае известна сторона \( AC \) и углы \( A \) и \( B \), а нужно найти сторону \( BC \). Поэтому используем равенство \( \frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{BC}{\sin \angle A} \) и выразим \( BC \) как \( BC = \frac{AC \cdot \sin \angle A}{\sin \angle B} \). Это позволяет найти искомую сторону через известные величины.

Далее подставим числовые значения в формулу: \( BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \). Чтобы вычислить синусы, используем известные значения: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда формула принимает вид \( BC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \). Деление дробей заменяем умножением на обратную: \( BC = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \). Здесь множители \( \frac{2}{2} \) сокращаются, а \( \sqrt{2} \) в числителе и знаменателе тоже сокращается, что упрощает выражение до \( BC = 4 \sqrt{3} \). Получаем, что длина стороны \( BC \) равна \( 4\sqrt{3} \) см.