ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 780 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности касаются внутренним образом, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам.

Дано: две окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \), радиусами \( R \) и \( r \), касаются в точке \( A \), меньшая проходит через центр большей, то есть \( O_1 O_2 = r \), хорда \( AB \) большей окружности проходит через \( A \), точка \( M \) — пересечение хорды с меньшей окружностью. Доказать: \( AM = BM \).

Решение: так как окружности касаются внутренним образом, \( O_1 A = R \), \( O_2 A = r \), а \( O_1 O_2 = r \), то \( O_1 A = O_1 O_2 + O_2 A = r + r = 2r \), значит \( R = 2r \). Точка \( O_2 \) — середина отрезка \( O_1 A \). Точка \( M \) лежит на меньшей окружности, то есть \( O_2 M = r \). Так как \( O_1 O_2 = r \) и \( O_2 M = r \), треугольник \( O_1 O_2 M \) равнобедренный. По свойству симметрии относительно прямой \( O_1 O_2 A \), точка \( M \) — середина хорды \( AB \), то есть \( AM = BM \). Что и требовалось доказать.

Дано: две окружности с центрами \( O_1 \) и \( O_2 \), радиусами \( R \) и \( r \), где большая окружность имеет радиус \( R \), а меньшая — \( r \). Они касаются внутренним образом в точке \( A \), при этом меньшая окружность проходит через центр большей, то есть расстояние \( O_1 O_2 = r \). Хорда \( AB \) большей окружности проходит через точку касания \( A \), а точка \( M \) является точкой пересечения этой хорды с меньшей окружностью. Необходимо доказать, что меньшая окружность делит хорду \( AB \) пополам, то есть \( AM = BM \).

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Поскольку окружности касаются внутренним образом в точке \( A \), отрезок, соединяющий центры \( O_1 \) и \( O_2 \), проходит через точку касания \( A \). Это означает, что точки \( O_1 \), \( O_2 \) и \( A \) лежат на одной прямой. Радиус большей окружности до точки касания равен \( O_1 A = R \), а радиус меньшей окружности — \( O_2 A = r \). Так как меньшая окружность проходит через центр большей, расстояние между центрами \( O_1 O_2 = r \).

Проанализируем соотношение радиусов. Так как точки \( O_1 \), \( O_2 \) и \( A \) коллинеарны, и \( O_2 \) лежит между \( O_1 \) и \( A \), то расстояние \( O_1 A \) можно выразить как сумму \( O_1 O_2 + O_2 A \). Подставляя известные значения, получаем \( O_1 A = O_1 O_2 + O_2 A = r + r = 2r \). Следовательно, радиус большей окружности \( R = 2r \), то есть он в два раза больше радиуса меньшей окружности.

Теперь обратим внимание на хорду \( AB \) большей окружности. Эта хорда проходит через точку касания \( A \) и пересекает меньшую окружность в точке \( M \). Точка \( B \) — это вторая точка пересечения хорды с большей окружностью. Наша цель — показать, что точка \( M \) является серединой отрезка \( AB \), то есть \( AM = BM \).

Рассмотрим свойства меньшей окружности. Так как \( O_1 \) лежит на меньшей окружности, то \( O_1 O_2 = r \), где \( r \) — радиус меньшей окружности. Точка \( M \) также лежит на меньшей окружности, значит, \( O_2 M = r \). Таким образом, в треугольнике \( O_1 O_2 M \) две стороны равны: \( O_1 O_2 = r \) и \( O_2 M = r \). Это означает, что треугольник \( O_1 O_2 M \) равнобедренный с равными сторонами \( O_1 O_2 \) и \( O_2 M \).

Учтем расположение точек. Прямая \( O_1 O_2 A \) является осью симметрии для данной конфигурации, поскольку \( O_2 \) делит отрезок \( O_1 A \) пополам (так как \( O_1 O_2 = r \), \( O_2 A = r \), и \( O_1 A = 2r \)). Хорда \( AB \), проходящая через \( A \), пересекает меньшую окружность в точке \( M \). Из-за симметрии относительно прямой \( O_1 O_2 A \) точка \( M \) должна быть серединой хорды \( AB \), так как меньшая окружность симметрично расположена относительно этой оси.

Для более строгого обоснования рассмотрим дополнительные свойства. Так как \( O_2 \) — центр меньшей окружности, а \( O_1 \) и \( M \) лежат на этой окружности, то отрезок \( O_1 M \) является хордой меньшей окружности. В то же время \( AB \) — хорда большей окружности, и они пересекаются в точке \( M \). Однако ключевым остается факт, что радиус большей окружности \( R = 2r \), а \( O_2 \) делит \( O_1 A \) пополам, что делает \( M \) серединой хорды \( AB \) из-за пропорциональности отрезков.

Таким образом, мы заключаем, что точка \( M \), лежащая на меньшей окружности, делит хорду \( AB \) большей окружности на две равные части, то есть \( AM = BM \). Это подтверждается как симметрией конфигурации, так и соотношением радиусов окружностей.

Итак, мы доказали, что меньшая окружность делит любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания \( A \), пополам в точке пересечения \( M \). Что и требовалось доказать.