ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 781 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны треугольник \(ABC\) и произвольная точка \(M\). Докажите, что точки, симметричные точке \(M\) относительно середин сторон треугольника \(ABC\), являются вершинами треугольника, равного данному.
Дано: треугольник \(ABC\), точка \(M\), точки \(A’\), \(B’\), \(C’\) симметричны \(M\) относительно середин сторон \(BC\), \(AC\), \(AB\). Доказать: \(\triangle A’B’C’ = \triangle ABC\).
Решение:
1) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и срединный треугольник \(A_1B_1C_1\), где \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\), \(AB\). Тогда \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\).
2) Точки \(A’\), \(B’\), \(C’\) симметричны \(M\) относительно \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), значит \(A’ = 2A_1\), \(B’ = 2B_1\), \(C’ = 2C_1\) (если \(M\) в начале координат).
3) Треугольник \(\triangle A’B’C’\) подобен \(\triangle A_1B_1C_1\) с коэффициентом \(k = 2\), так как стороны увеличены в 2 раза.
4) Общий коэффициент подобия между \(\triangle A’B’C’\) и \(\triangle ABC\) равен \(2 \cdot \frac{1}{2} = 1\), значит \(\triangle A’B’C’ = \triangle ABC\).
Что и требовалось доказать.
Дано: треугольник \(ABC\), произвольная точка \(M\), точки \(A’\), \(B’\), \(C’\) симметричны точке \(M\) относительно середин сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно. Требуется доказать, что треугольник \(\triangle A’B’C’\) равен треугольнику \(\triangle ABC\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\) и определим середины его сторон. Пусть точка \(A_1\) — середина стороны \(BC\), точка \(B_1\) — середина стороны \(AC\), а точка \(C_1\) — середина стороны \(AB\). Эти точки образуют срединный треугольник \(\triangle A_1B_1C_1\), который, как известно из геометрии, подобен исходному треугольнику \(\triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Это следует из того, что стороны срединного треугольника параллельны сторонам исходного треугольника и равны половине их длины.
Теперь обратимся к точкам \(A’\), \(B’\) и \(C’\), которые симметричны точке \(M\) относительно точек \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\). Симметрия относительно точки означает, что середина отрезка, соединяющего исходную точку и ее симметричное отображение, совпадает с точкой симметрии. Таким образом, точка \(A_1\) является серединой отрезка \(MA’\), точка \(B_1\) — серединой отрезка \(MB’\), а точка \(C_1\) — серединой отрезка \(MC’\).
Для упрощения дальнейших рассуждений выберем систему координат так, чтобы точка \(M\) находилась в начале координат, то есть \(M = (0, 0)\). Это допустимо, поскольку свойства симметрии и равенства треугольников не зависят от выбора системы координат. В этом случае, если точка \(A_1\) имеет координаты \((x_{A_1}, y_{A_1})\), то точка \(A’\), симметричная \(M\) относительно \(A_1\), будет иметь координаты \((2x_{A_1}, 2y_{A_1})\), так как \(A’ = 2A_1 — M = 2A_1\), поскольку \(M = 0\). Аналогично, координаты точки \(B’\) будут равны \(2B_1\), а точки \(C’\) — \(2C_1\).
Проанализируем треугольник \(\triangle A’B’C’\). Поскольку координаты его вершин \(A’\), \(B’\), \(C’\) равны удвоенным координатам вершин треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\), это означает, что треугольник \(\triangle A’B’C’\) является результатом гомотетии треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) с центром в точке \(M\) и коэффициентом подобия \(k = 2\). Таким образом, \(\triangle A’B’C’ \sim \triangle A_1B_1C_1\) с коэффициентом подобия \(2\), то есть все стороны треугольника \(\triangle A’B’C’\) в два раза длиннее соответствующих сторон треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\).
Теперь свяжем это с исходным треугольником \(\triangle ABC\). Мы уже установили, что \(\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\). Это означает, что стороны треугольника \(\triangle ABC\) в два раза длиннее сторон треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\). Если мы последовательно применим коэффициенты подобия, то общий коэффициент подобия между треугольником \(\triangle A’B’C’\) и треугольником \(\triangle ABC\) будет равен произведению коэффициентов: \(2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
Коэффициент подобия, равный \(1\), означает, что треугольники \(\triangle A’B’C’\) и \(\triangle ABC\) не только подобны, но и равны, то есть имеют одинаковые размеры и форму. Следовательно, \(\triangle A’B’C’ = \triangle ABC\), что и требовалось доказать.
Таким образом, мы показали, что треугольник, образованный точками, симметричными произвольной точке \(M\) относительно середин сторон исходного треугольника \(ABC\), равен этому исходному треугольнику. Это доказательство опирается на свойства симметрии и подобия треугольников, а также на использование координат для наглядного представления преобразований.
