ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 782 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Постройте треугольник по двум его углам и радиусу описанной окружности.
1. Построим \(\Delta EFK\), в котором \(\angle E = \angle A\) и \(\angle K = \angle B\);
2. Опишем около \(\Delta EFK\) окружность с центром \(O\);
3. Из точки \(O\) проведем окружность радиуса \(CD\);
4. Отметим точку \(N\) на ее пересечении с лучом \(OF\);
5. Отметим точку \(M\) на ее пересечении с лучом \(OE\);
6. Отметим точку \(P\) на ее пересечении с лучом \(OK\).
Для построения треугольника по двум углам и радиусу описанной окружности рассмотрим задачу с полной детализацией шагов. Давайте начнем с исходных данных: у нас есть два угла, обозначим их как \( \angle A \) и \( \angle B \), а также радиус описанной окружности \( R \), который соответствует отрезку \( CD \) в условии.
Сначала необходимо построить треугольник \( \Delta EFK \), в котором углы при вершинах \( E \) и \( K \) равны заданным углам \( \angle A \) и \( \angle B \). Для этого выберем произвольную точку \( F \) и проведем из нее два луча, образующие угол \( \angle F \), который вычисляется как \( 180^\circ — \angle A — \angle B \), поскольку сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Таким образом, мы определяем направления лучей из точки \( F \).
Далее на одном из лучей, например, на луче, соответствующем углу \( \angle A \), отметим точку \( E \) на произвольном расстоянии от \( F \). Затем из точки \( E \) проведем прямую, образующую с лучом \( FE \) угол, равный \( \angle A \). Эта прямая пересечет второй луч из точки \( F \) в точке \( K \). Таким образом, мы получаем треугольник \( \Delta EFK \), в котором \( \angle E = \angle A \), \( \angle K = \angle B \), а \( \angle F = 180^\circ — \angle A — \angle B \).
Теперь опишем окружность вокруг треугольника \( \Delta EFK \). Для этого найдем центр описанной окружности, точку \( O \), которая является пересечением серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Построим серединный перпендикуляр к стороне \( EF \): найдем середину отрезка \( EF \) и проведем через нее прямую, перпендикулярную \( EF \). Аналогично построим серединный перпендикуляр к стороне \( FK \). Точка пересечения этих перпендикуляров и будет центром описанной окружности \( O \).
Проведем окружность с центром в точке \( O \) и радиусом, равным расстоянию от \( O \) до любой из вершин треугольника, например, до точки \( E \). Эта окружность пройдет через все три вершины \( E \), \( F \) и \( K \), так как \( O \) — центр описанной окружности треугольника \( \Delta EFK \).
Следующим шагом из точки \( O \) проведем новую окружность с радиусом, равным \( CD \), который задан как радиус описанной окружности искомого треугольника. Эта окружность будет иметь радиус \( R \), соответствующий заданному значению \( CD \).
Теперь отметим точку \( N \) на пересечении этой новой окружности с лучом \( OF \). Для этого продолжим луч \( OF \) из точки \( O \) через точку \( F \) до пересечения с окружностью радиуса \( CD \). Точка пересечения и будет точкой \( N \).
Аналогично отметим точку \( M \) на пересечении окружности радиуса \( CD \) с лучом \( OE \). Продолжим луч \( OE \) из точки \( O \) через точку \( E \) до пересечения с окружностью, и точка пересечения будет точкой \( M \).
Затем отметим точку \( P \) на пересечении окружности радиуса \( CD \) с лучом \( OK \). Продолжим луч \( OK \) из точки \( O \) через точку \( K \) до пересечения с окружностью, и точка пересечения будет точкой \( P \).
В результате мы получаем треугольник \( \Delta MNP \), который является искомым треугольником. Его углы при вершинах \( M \) и \( P \) равны заданным углам \( \angle A \) и \( \angle B \), так как они соответствуют углам в треугольнике \( \Delta EFK \), а радиус описанной окружности равен \( CD \), поскольку точки \( M \), \( N \) и \( P \) лежат на окружности с радиусом \( R \) и центром \( O \). Таким образом, построение завершено.
