ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 783 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Постройте треугольник по двум его углам и радиусу вписанной окружности.
Построить треугольник по двум углам, а также радиусу вписанной окружности.
Построим \(\triangle EFK\), в котором \(\angle E = \angle A\) и \(\angle K = \angle B\);
Впишем в \(\triangle EFK\) окружность с центром в точке \(O\);
На перпендикуляре к \(EF\) отложим отрезок \(OI = CD\);
На перпендикуляре к \(FK\) отложим отрезок \(OT = CD\);
На перпендикуляре к \(EK\) отложим отрезок \(OH = CD\);
Построим перпендикуляры к отрезкам \(OI\), \(OT\) и \(OH\);
Отметим точки \(M\), \(N\) и \(P\) на их пересечениях.
Мы рассмотрим задачу построения треугольника по двум заданным углам и радиусу вписанной окружности. Даны углы \(\angle A\) и \(\angle B\), а также радиус вписанной окружности \(r = CD\). Наша цель — построить треугольник \(\triangle EFK\), который удовлетворяет этим условиям, и выполнить все указанные шаги построения с максимальной детализацией.
Для начала построим треугольник \(\triangle EFK\), в котором \(\angle E = \angle A\) и \(\angle K = \angle B\). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), вычислим третий угол \(\angle F = 180^\circ — \angle A — \angle B\). Проведем сторону \(EF\) как основание, затем от точки \(E\) отложим угол \(\angle A\), а от точки \(K\) (которую определим позже) — угол \(\angle B\). Точка \(F\) будет определена пересечением лучей, проведенных под соответствующими углами.
Теперь впишем в треугольник \(\triangle EFK\) окружность с центром в точке \(O\), которая является инцентром треугольника. Радиус этой окружности равен заданному значению \(r = CD\). Инцентр \(O\) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника, и от него до каждой стороны треугольника можно провести перпендикуляры длиной \(r\). Определим точки касания окружности со сторонами: \(I\) на стороне \(EF\), \(T\) на стороне \(FK\) и \(H\) на стороне \(EK\).
Далее на перпендикуляре к стороне \(EF\), проведенном через точку \(O\), отложим отрезок \(OI = CD = r\). Точка \(I\) уже определена как точка касания на стороне \(EF\), поэтому отрезок \(OI\) перпендикулярен \(EF\) и равен радиусу \(r\). Аналогично, на перпендикуляре к стороне \(FK\) отложим отрезок \(OT = CD = r\), где \(T\) — точка касания на \(FK\). И, наконец, на перпендикуляре к стороне \(EK\) отложим отрезок \(OH = CD = r\), где \(H\) — точка касания на \(EK\).
Следующим шагом построим перпендикуляры к отрезкам \(OI\), \(OT\) и \(OH\) в точках \(I\), \(T\) и \(H\) соответственно. Эти перпендикуляры будут представлять собой прямые, проведенные через точки касания окружности со сторонами треугольника. Поскольку \(OI\), \(OT\) и \(OH\) уже являются радиусами вписанной окружности и перпендикулярны сторонам, нам нужно построить прямые, перпендикулярные этим радиусам в соответствующих точках.
Теперь отметим точки пересечения этих перпендикуляров. Пусть перпендикуляр к \(OI\) в точке \(I\) пересекается с перпендикуляром к \(OT\) в точке \(T\), образуя точку \(M\). Аналогично, перпендикуляр к \(OT\) в точке \(T\) пересекается с перпендикуляром к \(OH\) в точке \(H\), образуя точку \(N\). И, наконец, перпендикуляр к \(OH\) в точке \(H\) пересекается с перпендикуляром к \(OI\) в точке \(I\), образуя точку \(P\).
Для уточнения расположения точек \(M\), \(N\) и \(P\) рассмотрим их геометрический смысл. Поскольку перпендикуляры к радиусам вписанной окружности в точках касания совпадают со сторонами треугольника, точки \(M\), \(N\) и \(P\) фактически совпадают с вершинами треугольника \(\triangle EFK\). Таким образом, точка \(M\) соответствует вершине \(E\), точка \(N\) — вершине \(F\), а точка \(P\) — вершине \(K\).
Чтобы убедиться в правильности построения, проверим, что радиус вписанной окружности треугольника \(\triangle EFK\) действительно равен заданному значению \(r\). Площадь треугольника \(S\) связана с радиусом вписанной окружности через формулу \(S = r \cdot s\), где \(s\) — полупериметр треугольника. Если стороны треугольника обозначить как \(a = FK\), \(b = EK\), \(c = EF\), то \(s = \frac{a + b + c}{2}\), и площадь можно также вычислить через углы, например, \(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\angle A)\).
Если заданные углы \(\angle A\) и \(\angle B\) позволяют построить треугольник с заданным радиусом \(r\), то наше построение корректно. В противном случае потребуется корректировка сторон треугольника с учетом заданного радиуса, что может быть выполнено численно или с использованием дополнительных геометрических построений.
Таким образом, мы выполнили все шаги построения: определили треугольник \(\triangle EFK\) по двум углам, вписали окружность с центром \(O\) и радиусом \(r = CD\), провели перпендикуляры к сторонам через точки касания \(I\), \(T\), \(H\), построили перпендикуляры к радиусам и отметили точки пересечения \(M\), \(N\), \(P\), которые соответствуют вершинам треугольника. Построение завершено.
