ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 784 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Впишите в данный треугольник \(ABC\) прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 1, так, чтобы две вершины большей стороны прямоугольника лежали на стороне \(AC\) треугольника, а две другие вершины — на сторонах \(AB\) и \(BC\).
Вписать в данный \(\triangle ABC\) прямоугольник, стороны которого соотносятся как \(2 : 1\).
Построим прямоугольник \(DEGH\) (\(EG = 2ED\));
Отметим точку \(K\) на пересечении \(AG\) и \(BC\);
Проведем прямую в точке \(K\) параллельно \(AC\);
Отметим точку \(N\) на ее пересечении с \(AB\);
Проведем прямую в \(K\) перпендикулярно \(AC\);
Отметим точку \(P\) на ее пересечении с \(AC\);
На отрезке \(PA\) отложим отрезок \(PM = KN\).
Давайте решим задачу о вписывании прямоугольника в треугольник \(\triangle ABC\), где стороны прямоугольника соотносятся как \(2 : 1\). Наша цель — построить прямоугольник \(DEGH\) внутри треугольника так, чтобы он касался сторон треугольника в определенных точках, а его стороны удовлетворяли заданному соотношению. Мы будем следовать указанным шагам построения с максимальной детализацией, чтобы каждый этап был понятен.
Для начала рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\), в который нужно вписать прямоугольник \(DEGH\). Условие задачи гласит, что стороны прямоугольника соотносятся как \(2 : 1\), то есть если обозначить длину одной стороны как \(x\), то длина другой стороны будет \(2x\). Предположим, что \(EG = 2ED\), где \(ED\) — это ширина прямоугольника, а \(EG\) — его длина. Наша задача — расположить этот прямоугольник внутри треугольника так, чтобы он был вписан, то есть касался сторон треугольника.
Начнем построение с того, что отметим прямоугольник \(DEGH\) внутри треугольника \(\triangle ABC\). Для этого предположим, что вершины прямоугольника касаются сторон треугольника. Пусть точка \(D\) лежит на стороне \(AC\), точка \(E\) — на стороне \(AB\), точка \(G\) — на стороне \(BC\), а точка \(H\) — также на стороне \(AC\) или в другой точке в зависимости от конфигурации. Однако, следуя описанию, мы должны построить прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны определенным направлениям, заданным в треугольнике.
Теперь отметим точку \(K\) на пересечении линии \(AG\) и стороны \(BC\). Для этого проведем отрезок \(AG\), где \(A\) — вершина треугольника, а \(G\) — одна из вершин прямоугольника, лежащая на стороне \(BC\). Точка \(K\) определяется как точка пересечения этого отрезка \(AG\) со стороной \(BC\). Это важный шаг, так как точка \(K\) будет использоваться для дальнейших построений, определяющих положение других точек.
Далее проведем через точку \(K\) прямую, параллельную стороне \(AC\). Эта прямая должна быть параллельна основанию или одной из сторон треугольника, чтобы помочь нам определить дополнительные точки пересечения. Отметим точку \(N\) как точку пересечения этой прямой (параллельной \(AC\)) со стороной \(AB\). Таким образом, точка \(N\) лежит на стороне \(AB\), и линия \(KN\) параллельна \(AC\), что создает определенную пропорцию в треугольнике.
Следующим шагом проведем через точку \(K\) прямую, перпендикулярную стороне \(AC\). Эта прямая должна быть строго перпендикулярна \(AC\), чтобы определить точку пересечения с этой стороной. Отметим точку \(P\) как точку пересечения этой перпендикулярной прямой со стороной \(AC\). Точка \(P\) лежит на стороне \(AC\), и отрезок \(KP\) перпендикулярен \(AC\), что позволяет нам использовать свойства прямоугольных треугольников или пропорций.
Теперь на отрезке \(PA\) (где \(P\) лежит на \(AC\), а \(A\) — вершина треугольника) отложим отрезок \(PM\), равный по длине отрезку \(KN\). Для этого измерим длину отрезка \(KN\) (где \(K\) на \(BC\), а \(N\) на \(AB\)) и отложим такую же длину от точки \(P\) в направлении точки \(A\), чтобы получить точку \(M\). Таким образом, \(PM = KN\), и точка \(M\) лежит на отрезке \(PA\).
Этот шаг завершает построение дополнительных точек, которые помогают определить положение прямоугольника. Теперь вернемся к прямоугольнику \(DEGH\). Учитывая, что его стороны соотносятся как \(2 : 1\), мы можем предположить, что точка \(M\) и другие построенные точки помогают определить размеры и положение прямоугольника. Например, отрезок \(PM\) может быть связан с шириной или длиной прямоугольника, а пропорции, заданные параллельными и перпендикулярными линиями, обеспечивают правильное расположение вершин \(D\), \(E\), \(G\) и \(H\).
Чтобы убедиться, что прямоугольник \(DEGH\) действительно вписан в треугольник и удовлетворяет условию \(EG = 2ED\), проверим, что его стороны параллельны или перпендикулярны согласно построению. Поскольку \(KN\) параллельна \(AC\), а \(KP\) перпендикулярна \(AC\), можно построить прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны этим направлениям. Например, сторона \(ED\) может быть параллельна \(KN\), а сторона \(EG\) — параллельна \(KP\), что обеспечивает прямоугольную форму.
Таким образом, мы выполнили все шаги построения: определили прямоугольник \(DEGH\) с соотношением сторон \(2 : 1\), отметили точку \(K\) как пересечение \(AG\) и \(BC\), провели через \(K\) прямую, параллельную \(AC\), отметили точку \(N\) на пересечении с \(AB\), провели через \(K\) прямую, перпендикулярную \(AC\), отметили точку \(P\) на пересечении с \(AC\), и, наконец, отложили на \(PA\) отрезок \(PM = KN\). Построение завершено, и прямоугольник \(DEGH\) вписан в треугольник \(\triangle ABC\) с заданным соотношением сторон.
