ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 785 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \(AB\) — хорда данной окружности, точка \(C\) — произвольная точка этой окружности. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников \(ABC\).
1) Дана окружность с хордой АВ и точкой М. Каждая точка С на окружности переходит в точку C’, которая лежит на отрезке СМ, причем расстояние МС’ равно \( \frac{1}{3} \cdot СМ \). Это значит, что точка C’ делит отрезок СМ в отношении 1:2, где М ближе к C’.
2) Геометрическое место всех точек C’ — это окружность, которая является образом исходной окружности при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \). Это преобразование уменьшает размеры исходной окружности в 3 раза относительно точки М.
Давайте разберем задачу пошагово, чтобы полностью понять условие и найти решение. У нас есть окружность, на которой задана хорда АВ, а также точка М, которая, судя по рисунку, находится внутри окружности или на ней. Нам нужно рассмотреть преобразование точек этой окружности и определить геометрическое место точек, получаемых в результате этого преобразования.
Первое условие задачи гласит, что каждая точка С, лежащая на данной окружности, переходит в точку C’, которая принадлежит отрезку СМ. При этом выполняется равенство \( МС’ = \frac{1}{3} \cdot СМ \). Это означает, что точка C’ делит отрезок СМ в определенном отношении. Если обозначить расстояние от С до М как \( СМ \), то расстояние от М до C’ равно \( \frac{1}{3} \cdot СМ \). Следовательно, расстояние от С до C’ будет равно \( СМ — МС’ = СМ — \frac{1}{3} \cdot СМ = \frac{2}{3} \cdot СМ \). Таким образом, точка C’ делит отрезок СМ в отношении \( СC’ : C’M = 2 : 1 \), то есть отрезок от С до C’ в два раза длиннее, чем от C’ до М.
Теперь обратимся ко второму пункту задачи. Нам нужно определить геометрическое место всех точек C’, полученных в результате такого преобразования для всех точек С исходной окружности. Согласно условию, это геометрическое место представляет собой окружность, которая является образом исходной окружности при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \). Гомотетия с коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \) означает, что все расстояния от центра гомотетии М до точек новой фигуры будут в три раза меньше, чем расстояния до соответствующих точек исходной фигуры.
Чтобы понять, как это связано с первым пунктом, рассмотрим, что гомотетия с центром М и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \) преобразует любую точку С в точку C’ такую, что вектор \( \overrightarrow{MC’} = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{MC} \). Это эквивалентно тому, что расстояние \( MC’ = \frac{1}{3} \cdot MC \), а направление от М к C’ совпадает с направлением от М к С. В терминах отрезка СМ это означает, что точка C’ лежит на прямой СМ, и расстояние от М до C’ составляет треть расстояния от М до С, что совпадает с условием \( МС’ = \frac{1}{3} \cdot СМ \).
Поскольку гомотетия с коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \) применяется ко всем точкам исходной окружности, весь образ окружности также будет окружностью. Радиус новой окружности будет в три раза меньше радиуса исходной, а центр новой окружности будет расположен на прямой, соединяющей М с центром исходной окружности, и расстояние от М до нового центра будет равно \( \frac{1}{3} \) расстояния от М до исходного центра.
Таким образом, геометрическое место точек C’ действительно является окружностью, которая получается из исходной окружности путем гомотетии с центром М и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \). Это полностью подтверждает второе утверждение задачи и связывает его с преобразованием, описанным в первом пункте.
