ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 786 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две точки \(A\) и \(B\) и прямая 1. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников \(ABC\), где \(C\) — произвольная точка прямой 1.

Дано: точки \( A \), \( B \), прямая \( l \), точка \( M \). Для каждой точки \( C \) на прямой \( l \) строится точка \( C’ \), такая что \( MC = MC’ \), то есть \( M \) — середина отрезка \( CC’ \). Геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, образ прямой \( l \) при гомотетии с центром \( M \) и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \), за исключением точки пересечения \( AB \) и \( l \).

Решение:
1. Условие \( MC = MC’ \) означает, что точка \( M \) — середина отрезка \( CC’ \). Это отражение точки \( C \) через точку \( M \). Если \( C \) на прямой \( l \), то \( C’ \) будет на прямой, симметричной \( l \) относительно \( M \).
2. Геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, так как отражение прямой через точку дает другую прямую. В условии указано, что это гомотетия с \( k = \frac{1}{3} \), но отражение соответствует \( k = -1 \). Возможно, имеется в виду масштаб в другом контексте.
3. Точка пересечения прямых \( AB \) и \( l \) исключается, если она совпадает с \( M \), так как в этом случае преобразование может быть неопределенным.

Ответ: Геометрическое место точек \( C’ \) — прямая, образ прямой \( l \) при отражении через точку \( M \), что соответствует гомотетии с коэффициентом \( k = -1 \), но по условию указан \( k = \frac{1}{3} \). Точка пересечения \( AB \) и \( l \) исключается.

Дано: точки \( A \), \( B \), прямая \( l \), точка \( M \). Для каждой точки \( C \) на прямой \( l \) строится точка \( C’ \), такая что \( MC = MC’ \), то есть точка \( M \) является серединой отрезка \( CC’ \). Также указано, что геометрическое место точек \( C’ \) представляет собой прямую, которая является образом прямой \( l \) при гомотетии с центром в точке \( M \) и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \), за исключением точки пересечения прямых \( AB \) и \( l \). Нам нужно разобраться в этом преобразовании и определить геометрическое место точек \( C’ \).

Первым делом разберем условие \( MC = MC’ \). Это означает, что точка \( M \) делит отрезок \( CC’ \) пополам, то есть является его серединой. Если представить это в координатах, пусть точка \( C \) имеет координаты \( (x, y) \), а точка \( M \) — координаты \( (x_m, y_m) \). Тогда координаты точки \( C’ \) можно найти из условия середины отрезка: \( x_m = \frac{x + x’}{2} \) и \( y_m = \frac{y + y’}{2} \). Решив эти уравнения, получаем \( x’ = 2x_m — x \) и \( y’ = 2y_m — y \). Это показывает, что точка \( C’ \) симметрична точке \( C \) относительно точки \( M \), то есть преобразование является отражением через точку \( M \).

Теперь рассмотрим, что происходит с прямой \( l \), когда все ее точки \( C \) подвергаются такому отражению через точку \( M \). Если точка \( M \) не лежит на прямой \( l \), то образ прямой \( l \) при отражении через точку будет другой прямой, параллельной исходной. Если же точка \( M \) лежит на прямой \( l \), то отражение вернет ту же самую прямую \( l \), так как каждая точка отразится в саму себя через середину. Таким образом, геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, которая является симметричным образом прямой \( l \) относительно точки \( M \).

Далее обратим внимание на указание в условии, что геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, полученная как образ прямой \( l \) при гомотетии с центром \( M \) и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \). Проверим, соответствует ли это нашему выводу. При гомотетии с центром \( M \) и коэффициентом \( k = \frac{1}{3} \), координаты точки \( C’ \) определялись бы как \( x’ = x_m + \frac{1}{3}(x — x_m) \) и \( y’ = y_m + \frac{1}{3}(y — y_m) \). Однако в нашем случае, из условия отражения, мы имеем \( x’ = 2x_m — x = x_m + (x_m — x) \), что соответствует гомотетии с коэффициентом \( k = -1 \), а не \( k = \frac{1}{3} \). Это указывает на возможную ошибку в условии или на то, что коэффициент \( k = \frac{1}{3} \) относится к другому контексту задачи.

Рассмотрим исключение, указанное в условии: точка пересечения прямых \( AB \) и \( l \) не входит в геометрическое место точек \( C’ \), если она совпадает с точкой \( M \). Это логично, поскольку, если точка \( C \) совпадает с \( M \), то \( C’ \) также совпадает с \( M \), и преобразование может быть неопределенным или не соответствовать общему правилу построения.

В заключение, геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, которая является образом прямой \( l \) при отражении через точку \( M \), что эквивалентно гомотетии с коэффициентом \( k = -1 \). Указание на коэффициент \( k = \frac{1}{3} \) в условии, возможно, является ошибкой или относится к другому аспекту задачи. Точка пересечения прямых \( AB \) и \( l \) исключается из рассмотрения, если она совпадает с точкой \( M \), чтобы избежать неопределенности в построении.

Ответ: Геометрическое место точек \( C’ \) — это прямая, параллельная \( l \), полученная как образ \( l \) при отражении через точку \( M \), что соответствует гомотетии с коэффициентом \( k = -1 \), хотя в условии указан коэффициент \( k = \frac{1}{3} \), возможно, как уточнение масштаба в другом контексте. Точка пересечения \( AB \) и \( l \) исключается, если она совпадает с \( M \).