ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 788 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь ромба и радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 12 см и 16 см.
Площадь ромба считается как половина произведения диагоналей: \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \, \text{см}^2 \).
Диагонали делятся пополам в точке пересечения O, значит AO = \( \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см} \), BO = \( \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см} \).
Сторона AB находится по теореме Пифагора в треугольнике AOB: \( AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \).
Площадь треугольника AOB равна: \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \, \text{см}^2 \).
Высота OH треугольника AOB: \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \), откуда \( OH = \frac{2 \cdot S_{AOB}}{AB} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \, \text{см} \). Это радиус вписанной окружности r.
96 см²; 4.8 см
Площадь ромба можно найти, используя формулу, которая основана на длинах его диагоналей. Формула для вычисления площади ромба выглядит следующим образом: \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \). В нашем случае длины диагоналей составляют \( AC = 16 \, \text{см} \) и \( BD = 12 \, \text{см} \). Подставив эти значения в формулу, получаем: \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь ромба ABCD равна 96 квадратным сантиметрам.
Следующий шаг заключается в нахождении длины стороны ромба. Для этого мы используем свойства диагоналей, которые пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Это означает, что отрезки AO и BO равны половинам диагоналей. Таким образом, \( AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см} \) и \( BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см} \). Теперь, зная длины отрезков, мы можем найти длину стороны ромба AB, применив теорему Пифагора в треугольнике AOB. Сторона AB вычисляется по формуле: \( AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \). Таким образом, длина стороны ромба составляет 10 сантиметров.
Теперь мы можем рассчитать радиус вписанной окружности ромба. Для этого воспользуемся площадью треугольника AOB, которая равна половине произведения основания (AO) на высоту (OH). Площадь треугольника AOB также можно выразить через сторону AB: \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \). Подставив известные значения, получаем: \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \, \text{см}^2 \). Теперь, зная площадь треугольника и его основание, можем найти высоту OH: \( OH = \frac{2 \cdot S_{AOB}}{AB} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \, \text{см} \). Таким образом, радиус вписанной окружности ромба равен 4.8 сантиметра.
96 см²; 4.8 см
