ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 79 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите угол \( A \) треугольника \( ABC \), изображённого на рисунке 18 (длины отрезков даны в сантиметрах).
Дано: \( AB = 6\sqrt{2} \), \( BC = 6 \), \( \angle C = 45^\circ \).
По теореме синусов: \( \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A} \).
Подставляем: \( \sin \angle A = \frac{BC \cdot \sin \angle C}{AB} = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{6\sqrt{2}} \).
Так как \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то
\( \sin \angle A = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \).
Тогда \( \angle A = \arcsin \frac{1}{2} = 30^\circ \).
Ответ: \( 30^\circ \).
В данном треугольнике \( \triangle ABC \) нам известны длина одной стороны \( AB = 6\sqrt{2} \), длина другой стороны \( BC = 6 \) и величина одного из углов \( \angle C = 45^\circ \). Наша задача — найти величину угла \( \angle A \).
Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов этого треугольника. Математически это выражается следующим образом:
\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \)
где \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, а \( \alpha, \beta, \gamma \) — величины противолежащих углов соответственно.
Применяя теорему синусов к нашему треугольнику \( \triangle ABC \), мы можем записать:
\( \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A} \)
Теперь подставим известные значения в это уравнение:
\( \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin \angle A} \)
Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим это значение:
\( \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sin \angle A} \)
Упростим левую часть уравнения. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:
\( 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sin \angle A} \)
Сократим \( \sqrt{2} \) в числителе и знаменателе левой части:
\( 6 \cdot 2 = \frac{6}{\sin \angle A} \)
\( 12 = \frac{6}{\sin \angle A} \)
Теперь выразим \( \sin \angle A \):
\( \sin \angle A = \frac{6}{12} \)
\( \sin \angle A = \frac{1}{2} \)
Чтобы найти величину угла \( \angle A \), нам нужно взять арксинус от \( \frac{1}{2} \):
\( \angle A = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) \)
Известно, что синус \( 30^\circ \) равен \( \frac{1}{2} \). Следовательно:
\( \angle A = 30^\circ \)
Таким образом, величина угла \( \angle A \) равна \( 30^\circ \).
Ответ: \( 30^\circ \).
