ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 790 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две окружности касаются внешним образом в точке \(A\), точки \(B\) и \(C\) — точки касания с этими окружностями их общей касательной. Докажите, что \(\angle BAC\) — прямой.

Дано:
А — точ. касания; ВС — общ. касат;
Доказать: ∠BAC = 90°;

Решение:
1) Рассмотрим окружности:
O₁B = O₁A, O₂A = O₂C; O₁B ⊥ BC, O₂C ⊥ BC, A ∈ O₁O₂;
2) ∠O₁BA = 90° — ∠ABC;
3) ∠O₂CA = 90° — ∠ACB;
4) ∠BAC = 180° — ∠O₁AB — ∠O₂AC;
∠BAC = ∠ABC + ∠ACB;
∠BAC = 180° — ∠ABC — ∠ACB;
∠BAC = 180° — ∠BAC;
∠BAC = 90°.

Дано: точка А — точка касания, ВС — общая касательная к двум окружностям.
Доказать: ∠BAC = 90°.

Решение:
Рассмотрим две окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Точка А является точкой касания этих окружностей с общей касательной ВС. Так как точки B и C являются точками касания, то отрезки O₁B и O₂C перпендикулярны касательной ВС.

Треугольник ∆O₁BA является прямоугольным, так как ∠O₁BA = 90° — ∠ABC, где ∠ABC — центральный угол окружности.

Аналогично, треугольник ∆O₂CA является прямоугольным, так как ∠O₂CA = 90° — ∠ACB, где ∠ACB — центральный угол окружности.

Рассмотрим треугольник ∆ABC. Угол ∠BAC можно выразить как разность между 180° и суммой углов ∠O₁AB и ∠O₂AC:
∠BAC = 180° — ∠O₁AB — ∠O₂AC
∠BAC = 180° — (90° — ∠ABC) — (90° — ∠ACB)
∠BAC = 180° — 90° + ∠ABC — 90° + ∠ACB
∠BAC = ∠ABC + ∠ACB
∠BAC = 180° — ∠BAC
∠BAC = 90°

Таким образом, мы доказали, что ∠BAC = 90°.