ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 798 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 270 (длины отрезков даны в сантиметрах).
Дано: \(DF = 12\), \(DE = 8\), \(\angle EDF = 60^\circ\), \(AD = 6\).
Найдем \(EF\) по теореме косинусов: \(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos \angle EDF\).
Подставляем: \(EF^2 = 8^2 + 12^2 — 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 144 — 192 \cdot \frac{1}{2} = 208 — 96 = 112\).
Тогда \(EF = 4 \sqrt{7}\).
Периметр основания: \(P_{DEF} = DE + DF + EF = 8 + 12 + 4 \sqrt{7} = 4(5 + \sqrt{7})\).
Площадь основания: \(S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF \cdot \sin \angle EDF = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin 60^\circ = 24 \sqrt{3}\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P_{DEF} \cdot AD = 24 (5 + \sqrt{7})\).
Полная площадь поверхности: \(S_{пов} = S_{бок} + 2 S_{DEF} = 24 (5 + \sqrt{7}) + 2 \cdot 24 \sqrt{3} = 24 (5 + \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})\).
Объем: \(V = S_{DEF} \cdot AD = 24 \sqrt{3} \cdot 6 = 144 \sqrt{3}\).
Ответ: \(24 (5 + \sqrt{7})\) см²; \(24 (2 \sqrt{3} + 5 + \sqrt{7})\) см²; \(144 \sqrt{3}\) см³.
Дано: \(DF = 12\), \(DE = 8\), \(\angle EDF = 60^\circ\), \(AD = 6\).
Для начала найдем сторону \(EF\) в треугольнике \(DEF\) с помощью теоремы косинусов. Формула для стороны \(EF\) выглядит так: \(EF^2 = DE^2 + DF^2 — 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos \angle EDF\).
Подставим известные значения: \(EF^2 = 8^2 + 12^2 — 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 144 — 192 \cdot \frac{1}{2} = 208 — 96 = 112\).
Из этого следует, что \(EF = \sqrt{112} = 4 \sqrt{7}\).
Теперь найдем периметр основания треугольника \(DEF\). Он равен сумме всех сторон: \(P_{DEF} = DE + DF + EF = 8 + 12 + 4 \sqrt{7} = 20 + 4 \sqrt{7} = 4(5 + \sqrt{7})\).
Далее вычислим площадь основания \(S_{DEF}\). Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF \cdot \sin \angle EDF\).
Подставляем значения: \(S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \sqrt{3}\).
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: \(S_{бок} = P_{DEF} \cdot AD = 4(5 + \sqrt{7}) \cdot 6 = 24 (5 + \sqrt{7})\).
Полная площадь поверхности призмы — это сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \(S_{пов} = S_{бок} + 2 S_{DEF} = 24 (5 + \sqrt{7}) + 2 \cdot 24 \sqrt{3} = 24 (5 + \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})\).
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = S_{DEF} \cdot AD = 24 \sqrt{3} \cdot 6 = 144 \sqrt{3}\).
Ответ: \(24 (5 + \sqrt{7})\) см²; \(24 (5 + \sqrt{7} + 2 \sqrt{3})\) см²; \(144 \sqrt{3}\) см³.
