ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 80 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите сторону \( AB \) треугольника \( ABC \), если \( AC = 6\sqrt{6} \) см, \( \angle B = 120^\circ \), \( \angle C = 45^\circ \).

Краткий ответ:

По теореме синусов: \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \).
Подставим значения: \( \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} \).
Вычислим AB: \( AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2 \).
Ответ: 2 см.

Подробный ответ:

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов.

Теорема синусов гласит: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \), где \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, а \( \alpha, \beta, \gamma \) — величины противолежащих углов.

В нашем случае, для треугольника \( ABC \), мы имеем:
Сторона \( AC = \sqrt{6} \)
Угол \( B = 120^\circ \)
Угол \( C = 45^\circ \)

Нам нужно найти длину стороны \( AB \). Согласно теореме синусов, мы можем записать следующее соотношение:
\( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \)

Подставим известные значения в это уравнение:
\( \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} \)

Теперь выразим длину стороны \( AB \):
\( AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} \)

Для дальнейших вычислений нам понадобятся значения синусов углов \( 45^\circ \) и \( 120^\circ \).

Значение синуса \( 45^\circ \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Значение синуса \( 120^\circ \) можно найти, используя формулу приведения: \( \sin(180^\circ — \alpha) = \sin \alpha \).
Таким образом, \( \sin 120^\circ = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ \).
Значение синуса \( 60^\circ \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для \( AB \):
\( AB = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

Упростим полученное выражение. Сначала избавимся от двойки в знаменателях:
\( AB = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( AB = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Теперь выполним умножение корней. Можно записать \( \sqrt{6} \) как \( \sqrt{2 \cdot 3} \):
\( AB = \sqrt{2 \cdot 3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
\( AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Сократим \( \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе:
\( AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \)

Произведение \( \sqrt{2} \) на \( \sqrt{2} \) равно 2:
\( AB = 2 \)

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна 2 см.

Ответ: 2 см.

Оцени решение