ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 804 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Слиток меди длиной 50 см имеет форму прямой призмы, основанием которой является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 6 см и 14 см, а боковая сторона — 8,5 см. Установите, есть ли внутри слитка пустоты или он является сплошным, если масса слитка равна 32 кг, а плотность меди — \(9{,}0 \cdot 10^3\) кг/м³.

Краткий ответ:

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AB = CD = 8{,}5\) см, \(BC = 6\) см, \(AD = 14\) см, длина призмы \(AE = 50\) см, масса слитка \(m = 32\) кг, плотность меди \(\rho = 9 \cdot 10^{3}\) кг/м³.

Найти: масса \(m\).

1) Построим перпендикуляр \(BH\) к \(AD\), где \(H \in AD\).

2) Найдём \(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{14 — 6}{2} = 4\) см.

3) В треугольнике \(ABH\) угол \(H = 90^\circ\), тогда \(BH = \sqrt{AB^{2} — AH^{2}} = \sqrt{8{,}5^{2} — 4^{2}} = \sqrt{72{,}25 — 16} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\) см.

4) Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{14 + 6}{2} \cdot 7{,}5 = 10 \cdot 7{,}5 = 75\) см².

5) Объём призмы \(V = S_{ABCD} \cdot AE = 75 \cdot 50 = 3750\) см³.

6) Переведём объём в м³: \(V = 3750 \cdot 10^{-6} = 0{,}00375\) м³.

7) Рассчитаем массу: \(m = V \cdot \rho = 0{,}00375 \cdot 9 \cdot 10^{3} = 33{,}75\) кг.

Ответ: масса слитка меньше расчётной, значит есть пустоты.

Подробный ответ:

Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(BC = 6\) см и \(AD = 14\) см, боковыми сторонами \(AB = CD = 8{,}5\) см. Длина призмы \(AE = 50\) см. Масса слитка \(m = 32\) кг, плотность меди \(\rho = 9 \cdot 10^{3}\) кг/м³.

Для начала найдём высоту трапеции \(BH\). Проведём перпендикуляр из точки \(B\) на основание \(AD\), точка пересечения — \(H\).

Длина отрезка \(AH\) равна половине разности оснований: \(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{14 — 6}{2} = 4\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABH\) с прямым углом при \(H\) найдём высоту \(BH\) по теореме Пифагора:

\(BH = \sqrt{AB^{2} — AH^{2}} = \sqrt{8{,}5^{2} — 4^{2}} = \sqrt{72{,}25 — 16} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\) см.

Площадь основания трапеции вычислим по формуле:

\(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{14 + 6}{2} \cdot 7{,}5 = 10 \cdot 7{,}5 = 75\) см².

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:

\(V = S_{ABCD} \cdot AE = 75 \cdot 50 = 3750\) см³.

Переведём объём из кубических сантиметров в кубические метры:

\(V = 3750 \cdot 10^{-6} = 0{,}00375\) м³.

Теперь вычислим массу слитка, если бы он был сплошным телом из меди:

\(m = V \cdot \rho = 0{,}00375 \cdot 9 \cdot 10^{3} = 33{,}75\) кг.

Фактическая масса слитка \(32\) кг меньше рассчитанной массы \(33{,}75\) кг, значит внутри слитка есть пустоты.

Оцени решение