ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 807 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 11 см.

Дано: ромб \(ABCD\) со стороной \(AB = 10\) см и диагональю \(AC = 16\) см, высота пирамиды \(SH = 11\) см.

Найдём половину диагонали \(AC\): \(AH = \frac{1}{2} \times 16 = 8\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABH\) найдём \(BH\): \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6\) см.

Вторая диагональ ромба: \(BD = 2 \times BH = 2 \times 6 = 12\) см.

Площадь ромба: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96\) см\(^2\).

Объём пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SH = \frac{1}{3} \times 96 \times 11 = 352\) см\(^3\).

Пусть дана пирамида \(SABCD\) с основанием в виде ромба \(ABCD\). Известно, что сторона ромба \(AB = 10\) см, а одна из диагоналей \(AC = 16\) см. Высота пирамиды, проведённая из вершины \(S\) на основание, равна \(SH = 11\) см.

Сначала найдём половину диагонали \(AC\), так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Тогда \(AH = \frac{1}{2} \times 16 = 8\) см.

Рассмотрим треугольник \(ABH\), где \(H\) — точка пересечения диагоналей. Этот треугольник прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. По теореме Пифагора найдём длину отрезка \(BH\):

\(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6\) см.

Полная диагональ \(BD\) равна удвоенному отрезку \(BH\), то есть \(BD = 2 \times 6 = 12\) см.

Площадь ромба вычисляется по формуле через диагонали: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96\) см\(^2\).

Объём пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times высота\). Подставим значения: \(V = \frac{1}{3} \times 96 \times 11 = 352\) см\(^3\).