ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 809 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Два треугольника имеют по две соответственно равные стороны, а сумма углов треугольников между этими сторонами равна 180°. Докажите, что данные треугольники равновелики.

Дано:
\(\angle A + \angle N = 180^\circ\)
\(AB = MN\)
\(AC = NK\)

Докажем, что \(S_{ABC} = S_{MNK}\).

Площадь треугольника \(ABC\):
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A\)

Площадь треугольника \(MNK\):
\(S_{MNK} = \frac{1}{2} MN \cdot NK \cdot \sin \angle N\)

Так как \(AB = MN\), \(AC = NK\) и \(\sin \angle N = \sin (180^\circ — \angle A) = \sin \angle A\), то
\(S_{MNK} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A = S_{ABC}\).

Что и требовалось доказать.

Дано, что сумма углов \( \angle A \) и \( \angle N \) равна \( 180^\circ \), то есть \( \angle A + \angle N = 180^\circ \). Также известно, что стороны \( AB \) и \( MN \) равны, а стороны \( AC \) и \( NK \) равны: \( AB = MN \) и \( AC = NK \).

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними по формуле \( S = \frac{1}{2} \times сторона_1 \times сторона_2 \times \sin \) угла между ними. Для треугольника \( ABC \) площадь будет равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A \).

Для треугольника \( MNK \) площадь равна \( S_{MNK} = \frac{1}{2} MN \cdot NK \cdot \sin \angle N \).

Подставим известные равенства сторон в формулу площади треугольника \( MNK \): \( S_{MNK} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle N \).

Так как углы \( \angle A \) и \( \angle N \) в сумме дают \( 180^\circ \), то \( \sin \angle N = \sin (180^\circ — \angle A) \). По свойству синуса \( \sin (180^\circ — x) = \sin x \), значит \( \sin \angle N = \sin \angle A \).

Подставим это в формулу площади треугольника \( MNK \), получим \( S_{MNK} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A \).

Это совпадает с формулой площади треугольника \( ABC \), то есть \( S_{MNK} = S_{ABC} \).

Следовательно, площади треугольников \( ABC \) и \( MNK \) равны.