ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 822 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диаметр основания конуса равен 16 см, а его образующая — 17 см. Найдите площадь поверхности и объём конуса.
Дано: диаметр основания конуса 16 см, образующая 17 см. Найти площадь поверхности и объём.
Решение: радиус основания \( AB = \frac{16}{2} = 8 \) см. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) по теореме Пифагора высота \( BC = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \) см.
Площадь основания \( S_{\text{осн}} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \) см\(^2\).
Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \) см\(^2\).
Полная площадь поверхности \( S = 64\pi + 136\pi = 200\pi \) см\(^2\).
Объём конуса \( V = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 15 = \frac{960\pi}{3} = 320\pi \) см\(^3\).
Ответ: \( 200\pi \) см\(^2\), \( 320\pi \) см\(^3\).
Дано: диаметр основания конуса равен 16 см, а образующая конуса составляет 17 см. Необходимо найти площадь полной поверхности конуса и его объём. Решим эту задачу шаг за шагом, чтобы всё было максимально понятно.
Сначала определим радиус основания конуса. Диаметр основания равен 16 см, значит радиус \( AB = \frac{16}{2} = 8 \) см. Это будет один из катетов прямоугольного треугольника, который мы будем рассматривать для нахождения высоты конуса.
Теперь найдём высоту конуса. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( AB = 8 \) см — радиус основания, \( AC = 17 \) см — образующая конуса, а \( BC \) — высота конуса, которую нужно найти. По теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AC^2 — AB^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \) см. Таким образом, высота конуса равна 15 см.
Перейдём к вычислению площади поверхности конуса. Площадь полной поверхности состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности. Начнём с площади основания. Формула для площади круга: \( S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2 \), где \( r = 8 \) см. Подставим: \( S_{\text{осн}} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \) см\(^2\).
Теперь найдём площадь боковой поверхности. Формула для боковой поверхности конуса: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l \), где \( r = 8 \) см, а \( l = 17 \) см (образующая). Подставим значения: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \) см\(^2\).
Сложим площадь основания и боковой поверхности, чтобы получить полную площадь поверхности конуса: \( S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 64\pi + 136\pi = 200\pi \) см\(^2\). Это первый из искомых результатов.
Далее вычислим объём конуса. Формула для объёма: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \), где \( S_{\text{осн}} = 64\pi \) см\(^2\), а высота \( h = 15 \) см. Подставим значения: \( V = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 15 = \frac{960\pi}{3} = 320\pi \) см\(^3\). Это второй искомый результат.
Итак, мы нашли оба значения. Площадь полной поверхности конуса составляет \( 200\pi \) см\(^2\), а объём конуса равен \( 320\pi \) см\(^3\).
