1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Геометрия
9 класс учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Год
2016-2023
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 827 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Как изменятся площадь поверхности и объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза?

Краткий ответ:

Площадь поверхности шара: изначально \( S_1 = 4\pi R_1^2 \), после увеличения радиуса в 2 раза \( R_2 = 2R_1 \), новая площадь \( S_2 = 4\pi (2R_1)^2 = 4\pi \cdot 4R_1^2 = 16\pi R_1^2 \). Отношение \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R_1^2}{4\pi R_1^2} = 4 \). Площадь увеличится в 4 раза.

Объём шара: изначально \( V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 \), после увеличения радиуса \( V_2 = \frac{4}{3}\pi (2R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8R_1^3 = \frac{32}{3}\pi R_1^3 \). Отношение \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{32}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = 8 \). Объём увеличится в 8 раз.

Подробный ответ:

Для решения задачи об изменении площади поверхности и объёма шара при увеличении его радиуса в 2 раза, рассмотрим каждый параметр подробно, используя соответствующие формулы и проводя пошаговые вычисления. Мы будем сравнивать значения до и после изменения радиуса, чтобы понять, во сколько раз увеличиваются эти характеристики.

Начнём с площади поверхности шара. Формула для площади поверхности шара имеет вид \( S = 4\pi R^2 \), где \( R \) — это радиус шара. Предположим, что изначальный радиус шара равен \( R_1 \). Тогда изначальная площадь поверхности будет равна \( S_1 = 4\pi R_1^2 \). Теперь увеличим радиус в 2 раза, то есть новый радиус \( R_2 = 2R_1 \). Подставим это значение в формулу для площади поверхности: \( S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (2R_1)^2 \). Вычислим выражение в скобках: \( (2R_1)^2 = 4R_1^2 \). Тогда \( S_2 = 4\pi \cdot 4R_1^2 = 16\pi R_1^2 \). Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к изначальной: \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi R_1^2}{4\pi R_1^2} \). Сократим числитель и знаменатель на \( 4\pi R_1^2 \), получим \( \frac{16}{4} = 4 \). Это означает, что площадь поверхности шара увеличилась в 4 раза.

Теперь перейдём к объёму шара. Формула для объёма шара выглядит так: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \), где \( R \) — радиус. Снова возьмём изначальный радиус как \( R_1 \), тогда изначальный объём будет равен \( V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 \). После увеличения радиуса в 2 раза новый радиус составляет \( R_2 = 2R_1 \). Подставим это значение в формулу объёма: \( V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2R_1)^3 \). Вычислим куб радиуса: \( (2R_1)^3 = 8R_1^3 \). Тогда \( V_2 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8R_1^3 = \frac{32}{3}\pi R_1^3 \). Чтобы понять, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма к изначальному: \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{32}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} \). Сократим числитель и знаменатель на \( \frac{4}{3}\pi R_1^3 \), получим \( \frac{32}{4} = 8 \). Это показывает, что объём шара увеличился в 8 раз.

Таким образом, при увеличении радиуса шара в 2 раза площадь его поверхности увеличивается в 4 раза, а объём — в 8 раз. Этот результат объясняется тем, что площадь поверхности зависит от квадрата радиуса, а объём — от куба радиуса, поэтому изменения происходят в разных пропорциях.



Общая оценка
4.4 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы