ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 828 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Радиус одного шара равен 3 см, а другого — 4 см. Найдите отношение площадей поверхностей и отношение объёмов данных шаров.

Краткий ответ:

Для радиусов шаров \( R_1 = 3 \, \text{см} \) и \( R_2 = 4 \, \text{см} \) найдём отношение площадей поверхностей. Площадь поверхности шара равна \( S = 4\pi R^2 \). Тогда отношение \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} \).

Теперь найдём отношение объёмов. Объём шара равен \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Тогда отношение \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27} \).

Подробный ответ:

Мы имеем два шара с радиусами \( R_1 = 3 \, \text{см} \) и \( R_2 = 4 \, \text{см} \). Наша задача — найти отношение площадей их поверхностей и отношение их объёмов. Давайте разберёмся с этим шаг за шагом, чтобы всё стало предельно ясно.

Сначала займёмся площадями поверхностей. Формула для площади поверхности шара выглядит так: \( S = 4\pi R^2 \). Это значит, что площадь зависит от квадрата радиуса. Для первого шара с радиусом \( R_1 = 3 \, \text{см} \) площадь будет равна \( S_1 = 4\pi (3)^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \, \text{см}^2 \). Для второго шара с радиусом \( R_2 = 4 \, \text{см} \) площадь составит \( S_2 = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \, \text{см}^2 \). Теперь, чтобы найти отношение площадей, делим \( S_2 \) на \( S_1 \): \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{64\pi}{36\pi} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \). Таким образом, отношение площадей поверхностей равно \( \frac{16}{9} \).

Перейдём к объёмам. Формула для объёма шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Здесь объём зависит от куба радиуса, что важно учитывать. Для первого шара с радиусом \( R_1 = 3 \, \text{см} \) объём равен \( V_1 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \, \text{см}^3 \). Для второго шара с радиусом \( R_2 = 4 \, \text{см} \) объём будет \( V_2 = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \, \text{см}^3 \). Теперь найдём отношение объёмов, разделив \( V_2 \) на \( V_1 \): \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{256}{3}\pi}{36\pi} = \frac{256}{3} \cdot \frac{1}{36} = \frac{256}{108} = \frac{64}{27} \). Таким образом, отношение объёмов равно \( \frac{64}{27} \).

Итак, мы получили, что отношение площадей поверхностей двух шаров составляет \( \frac{16}{9} \), а отношение их объёмов — \( \frac{64}{27} \). Эти значения можно также понять через соотношение радиусов: отношение площадей равно квадрату отношения радиусов \( \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \), а отношение объёмов — кубу отношения радиусов \( \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} \). Это подтверждает правильность наших вычислений.

Оцени решение