ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 829 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диаметр внешней сферы железного пустотелого шара равен 12 см, а диаметр внутренней сферы — 10 см. Найдите массу шара, если плотность железа равна \(7,9 \cdot 10^3\) кг/м³.
Диаметр внешней сферы 12 см, внутренней — 10 см, плотность железа \( 7.9 \cdot 10^{3} \, \text{кг/м}^{3} \). Найдем радиусы: внешний \( r_{\text{внеш}} = 6 \, \text{см} \), внутренний \( r_{\text{внут}} = 5 \, \text{см} \).
Объем внутренней сферы: \( V_{\text{внут}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^{3} = \frac{500}{3} \pi \, \text{см}^{3} \).
Объем внешней сферы: \( V_{\text{внеш}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^{3} = \frac{864}{3} \pi \, \text{см}^{3} \).
Объем материала шара: \( V = V_{\text{внеш}} — V_{\text{внут}} = \frac{864}{3} \pi — \frac{500}{3} \pi = \frac{364}{3} \pi \approx 381 \, \text{см}^{3} \).
Перевод в метры: \( V = 381 \cdot 10^{-6} = 0.000381 \, \text{м}^{3} \).
Масса: \( m = 0.000381 \cdot 7.9 \cdot 10^{3} \approx 3 \, \text{кг} \).
Ответ: 3 кг.
Давайте решим задачу о нахождении массы пустотелого железного шара. У нас есть диаметр внутренней сферы 10 см, диаметр внешней сферы 12 см и плотность железа \( 7.9 \cdot 10^{3} \, \text{кг/м}^{3} \). Наша цель — найти массу материала, из которого состоит шар.
Сначала определим радиусы обеих сфер, так как диаметр — это удвоенный радиус. Для внутренней сферы радиус будет \( r_{\text{внут}} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см} \). Для внешней сферы радиус равен \( r_{\text{внеш}} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см} \). Эти значения понадобятся нам для расчета объемов.
Теперь вычислим объемы обеих сфер по формуле объема шара \( V = \frac{4}{3} \pi r^{3} \). Начнем с внутренней сферы: \( V_{\text{внут}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^{3} = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \, \text{см}^{3} \). Для внешней сферы: \( V_{\text{внеш}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^{3} = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = \frac{864}{3} \pi \, \text{см}^{3} \). Мы получили объемы обеих сфер.
Далее найдем объем материала шара, который представляет собой разницу между объемом внешней и внутренней сфер. Выполним вычитание: \( V = V_{\text{внеш}} — V_{\text{внут}} = \frac{864}{3} \pi — \frac{500}{3} \pi = \frac{364}{3} \pi \, \text{см}^{3} \). Чтобы упростить расчеты, подставим приближенное значение \( \pi \approx 3.14 \): \( V \approx \frac{364}{3} \cdot 3.14 \approx 121.33 \cdot 3.14 \approx 381 \, \text{см}^{3} \).
Так как плотность дана в килограммах на кубический метр, необходимо перевести объем из кубических сантиметров в кубические метры. Известно, что \( 1 \, \text{м}^{3} = 10^{6} \, \text{см}^{3} \), поэтому \( V = 381 \, \text{см}^{3} = 381 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^{3} = 0.000381 \, \text{м}^{3} \). Теперь объем выражен в нужных единицах.
Наконец, рассчитаем массу материала шара по формуле \( m = \rho \cdot V \), где \( \rho \) — плотность, а \( V \) — объем. Подставим значения: \( m = 7.9 \cdot 10^{3} \cdot 0.000381 = 7.9 \cdot 0.381 \approx 3 \, \text{кг} \). Таким образом, масса шара составляет около 3 килограммов.
Ответ: 3 кг.
