ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 83 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( MKP \) известно, что \( KP = 8 \) см, \( \angle K = 106^\circ \), \( \angle P = 32^\circ \). Найдите сторону \( MP \).

Дано: \( KP = 8 \), \( \angle K = 106^\circ \), \( \angle P = 32^\circ \).

Найдём \( \angle M \):

\( \angle M = 180^\circ — 106^\circ — 32^\circ = 42^\circ \).

По теореме синусов:

\( \frac{KP}{\sin \angle M} = \frac{MP}{\sin \angle K} \),

значит

\( MP = \frac{KP \cdot \sin \angle K}{\sin \angle M} = \frac{8 \cdot \sin 106^\circ}{\sin 42^\circ} \).

Подставим значения синусов:

\( MP = \frac{8 \cdot 0.96}{0.67} \approx 11.5 \).

Ответ: \( MP \approx 11.5 \) см.

В треугольнике \( MKP \) нам даны длина стороны \( KP = 8 \) см и два угла: \( \angle K = 106^\circ \) и \( \angle P = 32^\circ \). Чтобы найти сторону \( MP \), сначала нужно определить третий угол треугольника, так как сумма всех углов в треугольнике всегда равна \( 180^\circ \). Для этого вычтем сумму известных углов из \( 180^\circ \):

\( \angle M = 180^\circ — \angle K — \angle P = 180^\circ — 106^\circ — 32^\circ = 42^\circ \).

Теперь у нас есть все три угла треугольника: \( 106^\circ \), \( 32^\circ \) и \( 42^\circ \).

Для нахождения стороны \( MP \) используем теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Это можно записать так:

\( \frac{KP}{\sin \angle M} = \frac{MP}{\sin \angle K} = \frac{MK}{\sin \angle P} \).

Нас интересует отношение между сторонами \( KP \) и \( MP \), поэтому используем равенство:

\( \frac{KP}{\sin \angle M} = \frac{MP}{\sin \angle K} \).

Отсюда выразим \( MP \):

\( MP = \frac{KP \cdot \sin \angle K}{\sin \angle M} \).

Подставим известные значения:

\( MP = \frac{8 \cdot \sin 106^\circ}{\sin 42^\circ} \).

Далее вычислим значения синусов. Синус угла \( 106^\circ \) приблизительно равен \( 0.96 \), а синус угла \( 42^\circ \) — примерно \( 0.67 \). Подставим эти значения в формулу:

\( MP = \frac{8 \cdot 0.96}{0.67} \).

Выполним умножение в числителе:

\( 8 \cdot 0.96 = 7.68 \).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{7.68}{0.67} \approx 11.5 \).

Таким образом, длина стороны \( MP \) приблизительно равна \( 11.5 \) см.