ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 830 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а его площадь — 210 см². Найдите третью сторону треугольника.

Дано: стороны треугольника \(AB = 17\) см, \(AC = 28\) см, площадь \(S = 210\) см\(^2\). Найти \(BC\).

Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A\), откуда \(\sin \angle A = \frac{2 \cdot S}{AB \cdot AC} = \frac{2 \cdot 210}{17 \cdot 28} = \frac{420}{476} = \frac{15}{17}\).

Тогда \(\cos^2 \angle A = 1 — \sin^2 \angle A = 1 — \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}\), значит \(\cos \angle A = \pm \frac{8}{17}\).

По теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\).

Если \(\cos \angle A = \frac{8}{17}\), то \(BC^2 = 17^2 + 28^2 — 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \frac{8}{17} = 289 + 784 — 448 = 625\), значит \(BC = 25\) см.

Если \(\cos \angle A = -\frac{8}{17}\), то \(BC^2 = 17^2 + 28^2 — 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = 289 + 784 + 448 = 1521\), значит \(BC = 39\) см.

Ответ: \(BC = 25\) см или \(BC = 39\) см.

Дано: в треугольнике \(ABC\) известны две стороны \(AB = 17\) см и \(AC = 28\) см, а также площадь треугольника \(S = 210\) см\(^2\). Необходимо найти длину третьей стороны \(BC\). Решим эту задачу пошагово, используя формулу площади треугольника и теорему косинусов.

Сначала вспомним, что площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними. Формула выглядит так: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A\). У нас есть все данные, кроме \(\sin \angle A\), поэтому мы можем найти значение синуса угла. Подставим известные значения в формулу: \(210 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 28 \cdot \sin \angle A\).

Умножим \(17\) на \(28\), чтобы получить произведение сторон: \(17 \cdot 28 = 476\). Тогда наша формула принимает вид: \(210 = \frac{1}{2} \cdot 476 \cdot \sin \angle A\). Умножим обе части уравнения на \(2\), чтобы избавиться от дроби: \(420 = 476 \cdot \sin \angle A\). Теперь разделим обе части на \(476\), чтобы найти \(\sin \angle A\): \(\sin \angle A = \frac{420}{476}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \(28\): \(\frac{420 \div 28}{476 \div 28} = \frac{15}{17}\). Таким образом, \(\sin \angle A = \frac{15}{17}\).

Теперь нам нужно найти \(\cos \angle A\), чтобы использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 \angle A + \cos^2 \angle A = 1\). Подставим значение синуса: \(\left(\frac{15}{17}\right)^2 + \cos^2 \angle A = 1\), то есть \(\frac{225}{289} + \cos^2 \angle A = 1\). Вычтем \(\frac{225}{289}\) из \(1\): \(\cos^2 \angle A = 1 — \frac{225}{289} = \frac{289}{289} — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}\). Значит, \(\cos \angle A = \pm \frac{8}{17}\). Мы получили два возможных значения косинуса, так как угол может быть острым или тупым, что влияет на конфигурацию треугольника.

Далее используем теорему косинусов, чтобы найти длину стороны \(BC\). Формула теоремы косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\). Рассмотрим оба случая для \(\cos \angle A\).

Сначала возьмем случай, когда \(\cos \angle A = \frac{8}{17}\). Подставим значения в формулу: \(BC^2 = 17^2 + 28^2 — 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \frac{8}{17}\). Вычислим квадраты: \(17^2 = 289\), \(28^2 = 784\). Теперь вычислим произведение: \(2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \frac{8}{17}\). Заметим, что \(17\) в числителе и знаменателе сокращается, поэтому \(2 \cdot 28 \cdot 8 = 448\). Тогда \(BC^2 = 289 + 784 — 448 = 1073 — 448 = 625\). Извлечем квадратный корень: \(BC = \sqrt{625} = 25\) см.

Теперь рассмотрим второй случай, когда \(\cos \angle A = -\frac{8}{17}\). Подставим в формулу: \(BC^2 = 17^2 + 28^2 — 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right)\). Снова используем квадраты: \(289 + 784\), а выражение с косинусом теперь будет прибавляться, так как два минуса дают плюс: \(2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \frac{8}{17} = 448\). Тогда \(BC^2 = 289 + 784 + 448 = 1073 + 448 = 1521\). Извлечем квадратный корень: \(BC = \sqrt{1521} = 39\) см.

Таким образом, в зависимости от конфигурации треугольника, третья сторона может принимать два значения. Ответ: \(BC = 25\) см или \(BC = 39\) см.