ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 831 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс, радиус равен 5, и которая проходит через точку \(M(1; 4)\).

Уравнение окружности с центром на оси абсцисс (\(h; 0\)) и радиусом 5: (\( (x — h)^2 + y^2 = 25 \)).

Точка \( M(1; 4) \) лежит на окружности, подставим: (\( (1 — h)^2 + 4^2 = 25 \)), (\( (1 — h)^2 + 16 = 25 \)), (\( (1 — h)^2 = 9 \)).

Решаем: (\( 1 — h = \pm 3 \)), значит (\( h = 1 — 3 = -2 \)) или (\( h = 1 + 3 = 4 \)).

Получаем два уравнения окружностей: (\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)) и (\( (x — 4)^2 + y^2 = 25 \)).

Давайте решим задачу о составлении уравнения окружности, центр которой лежит на оси абсцисс, радиус равен 5, и которая проходит через точку (\( M(1; 4) \)). Мы разберем каждый шаг максимально подробно, чтобы всё было понятно.

Сначала вспомним, как выглядит общее уравнение окружности. Окружность с центром в точке (\( O(h; k) \)) и радиусом (\( R \)) описывается уравнением (\( (x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2 \)). Это уравнение показывает, что расстояние от любой точки окружности до её центра равно радиусу.

В нашей задаче указано, что радиус равен 5, значит (\( R = 5 \)), а следовательно (\( R^2 = 25 \)). Также центр окружности лежит на оси абсцисс, то есть его координата по оси (\( y \)) равна 0. Таким образом, координаты центра можно записать как (\( O(h; 0) \)), где (\( h \)) — это координата по оси (\( x \)), которую нам предстоит найти.

Подставим известные данные в уравнение окружности. Поскольку (\( k = 0 \)) и (\( R^2 = 25 \)), уравнение принимает вид (\( (x — h)^2 + y^2 = 25 \)). Теперь наша задача — определить значение (\( h \)), чтобы окружность проходила через заданную точку (\( M(1; 4) \)).

Далее используем условие, что точка (\( M(1; 4) \)) лежит на окружности. Это значит, что если подставить координаты этой точки в уравнение окружности, оно должно выполняться. Подставим (\( x = 1 \)) и (\( y = 4 \)) в уравнение (\( (x — h)^2 + y^2 = 25 \)). Получаем (\( (1 — h)^2 + 4^2 = 25 \)).

Раскроем это выражение. Мы знаем, что (\( 4^2 = 16 \)), поэтому уравнение становится (\( (1 — h)^2 + 16 = 25 \)). Теперь вычтем 16 из обеих сторон, чтобы изолировать квадрат: (\( (1 — h)^2 = 25 — 16 \)), то есть (\( (1 — h)^2 = 9 \)).

Чтобы найти (\( h \)), нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон. При этом учитываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным: (\( 1 — h = \pm \sqrt{9} \)), то есть (\( 1 — h = \pm 3 \)). Это даёт нам два возможных решения.

Рассмотрим первое решение: (\( 1 — h = 3 \)). Решаем для (\( h \)): (\( h = 1 — 3 \)), значит (\( h = -2 \)). Теперь второе решение: (\( 1 — h = -3 \)). Решаем для (\( h \)): (\( h = 1 + 3 \)), значит (\( h = 4 \)). Таким образом, у нас есть два возможных значения для координаты центра по оси (\( x \)): (\( h = -2 \)) и (\( h = 4 \)).

Теперь определим координаты центров окружностей. Поскольку центр лежит на оси абсцисс, координата (\( y \)) равна 0. Значит, возможные центры — это (\( O_1(-2; 0) \)) и (\( O_2(4; 0) \)). Мы нашли два возможных положения центра, и для каждого из них можно составить уравнение окружности.

Составим уравнение для первого центра (\( O_1(-2; 0) \)). Подставим (\( h = -2 \)) в общее уравнение (\( (x — h)^2 + y^2 = 25 \)): (\( (x — (-2))^2 + y^2 = 25 \)), что равно (\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)). Это одно из возможных уравнений.

Теперь составим уравнение для второго центра (\( O_2(4; 0) \)). Подставим (\( h = 4 \)) в общее уравнение: (\( (x — 4)^2 + y^2 = 25 \)). Это второе возможное уравнение.

Проверим, действительно ли обе окружности проходят через точку (\( M(1; 4) \)). Для первой окружности (\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)) подставим (\( x = 1 \)) и (\( y = 4 \)): (\( (1 + 2)^2 + 4^2 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25 \)), что равно правой части уравнения. Для второй окружности (\( (x — 4)^2 + y^2 = 25 \)) подставим те же значения: (\( (1 — 4)^2 + 4^2 = (-3)^2 + 16 = 9 + 16 = 25 \)), что тоже выполняется. Значит, обе окружности удовлетворяют условию.

Также убедимся, что радиус равен 5. Для первого центра (\( O_1(-2; 0) \)) расстояние до точки (\( M(1; 4) \)) равно (\( \sqrt{(1 — (-2))^2 + (4 — 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)). Для второго центра (\( O_2(4; 0) \)) расстояние (\( \sqrt{(1 — 4)^2 + (4 — 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)). Радиус в обоих случаях равен 5, что соответствует условию.

Таким образом, мы определили, что существуют две окружности, удовлетворяющие всем заданным условиям. Их уравнения: (\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)) с центром в (\( (-2; 0) \)) и (\( (x — 4)^2 + y^2 = 25 \)) с центром в (\( (4; 0) \)). Оба уравнения являются решением задачи.