ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 833 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В параллелограмме ABCD AB = 2 см, AD = 4 см, \(\angle BAD = 60^\circ\). Найдите косинус угла между прямыми АС и BD.
В треугольнике BAD по теореме косинусов: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD = 2^2 + 4^2 -\)
\(- 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 16 — 16 \cdot \frac{1}{2} = 12\), значит \(BD = 2 \sqrt{3}\).
В параллелограмме \(CD = AB = 2\), угол \( \angle ADC = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).
В треугольнике ADC по теореме косинусов: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos 120^\circ = 4^2 + 2^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) =\)
\(= 16 + 4 + 8 = 28\), значит \(AC = 2 \sqrt{7}\).
Точка пересечения диагоналей делит их пополам, значит \(AO = \frac{AC}{2} = \sqrt{7}\), \(BO = \frac{BD}{2} = \sqrt{3}\).
В треугольнике AOB по теореме косинусов: \(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB\), подставляем: \(2^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \angle AOB\), то есть \(4 = 7 + 3 — 2 \sqrt{21} \cos \angle AOB\), откуда \(2 \sqrt{21} \cos \angle AOB = 6\), значит \(\cos \angle AOB = \frac{6}{2 \sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\).
Пусть параллелограмм \(ABCD\) с \(AB = 2\) см, \(AD = 4\) см и углом \(\angle BAD = 60^\circ\). Нужно найти косинус угла между диагоналями \(AC\) и \(BD\).
Сначала найдём длину диагонали \(BD\). В треугольнике \(BAD\) по теореме косинусов:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD\).
Подставляем известные значения:
\(BD^2 = 2^2 + 4^2 — 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 4 + 16 — 16 \cdot \frac{1}{2} = 20 — 8 = 12\).
Отсюда \(BD = 2 \sqrt{3}\).
Далее найдём длину диагонали \(AC\). В параллелограмме \(CD = AB = 2\), а угол \( \angle ADC = 180^\circ — \angle BAD = 120^\circ\).
В треугольнике \(ADC\) по теореме косинусов:
\(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC\).
Подставляем значения:
\(AC^2 = 4^2 + 2^2 — 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 4 — 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20 + 8 = 28\).
Отсюда \(AC = 2 \sqrt{7}\).
Точки пересечения диагоналей \(O\) делит их пополам, значит:
\(AO = \frac{AC}{2} = \sqrt{7}\), \(BO = \frac{BD}{2} = \sqrt{3}\).
Рассмотрим треугольник \(AOB\). По теореме косинусов для угла между диагоналями:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB\).
Подставляем известные значения:
\(2^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \angle AOB\),
то есть
\(4 = 7 + 3 — 2 \sqrt{21} \cos \angle AOB\).
Отсюда
\(2 \sqrt{21} \cos \angle AOB = 10 — 4 = 6\),
значит
\(\cos \angle AOB = \frac{6}{2 \sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\).
