ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 834 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами: 1) 4 см, 4 см и 5 см; 2) 5 см, 6 см и 9 см; 3) 5 см, 12 см и 13 см.
1) \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = 5\)
Вычисляем косинус угла:
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \angle C\)
\(25 = 16 + 16 — 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos \angle C\)
\(25 = 32 — 32 \cos \angle C\)
\(32 \cos \angle C = 32 — 25 = 7\)
\(\cos \angle C = \frac{7}{32} > 0\)
Ответ: остроугольный.
2) \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 9\)
\(81 = 25 + 36 — 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos \angle C\)
\(81 = 61 — 60 \cos \angle C\)
\(60 \cos \angle C = 61 — 81 = -20\)
\(\cos \angle C = -\frac{1}{3} < 0\)
Ответ: тупоугольный.
3) \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\)
\(169 = 25 + 144 — 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos \angle C\)
\(169 = 169 — 120 \cos \angle C\)
\(120 \cos \angle C = 169 — 169 = 0\)
\(\cos \angle C = 0\)
Ответ: прямоугольный.
Рассмотрим треугольник со сторонами \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = 5\). Чтобы определить вид угла напротив стороны \(c\), используем теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус угла между ними. Формула теоремы косинусов звучит так: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} — 2ab \cdot \cos \angle C\). Здесь \(c\) — сторона напротив угла, который мы хотим найти, а \(a\) и \(b\) — другие стороны треугольника. Подставим известные значения: \(5^{2} = 4^{2} + 4^{2} — 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos \angle C\).
Выполним вычисления для квадратов сторон: \(25 = 16 + 16 — 32 \cos \angle C\). Теперь сложим квадраты сторон: \(16 + 16 = 32\), значит уравнение принимает вид \(25 = 32 — 32 \cos \angle C\). Чтобы найти косинус угла, перенесём все члены с косинусом в одну сторону: \(32 \cos \angle C = 32 — 25 = 7\). Делим обе части уравнения на 32, получаем \(\cos \angle C = \frac{7}{32}\). Поскольку значение косинуса положительно и меньше 1, угол \(C\) острый, так как для острых углов косинус положителен.
Теперь рассмотрим треугольник с сторонами \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 9\). Аналогично применяем теорему косинусов: \(9^{2} = 5^{2} + 6^{2} — 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos \angle C\). Вычислим квадраты: \(81 = 25 + 36 — 60 \cos \angle C\), что даёт \(81 = 61 — 60 \cos \angle C\). Переносим слагаемые: \(60 \cos \angle C = 61 — 81 = -20\). Делим: \(\cos \angle C = -\frac{20}{60} = -\frac{1}{3}\). Отрицательное значение косинуса означает, что угол тупой, так как косинус тупого угла отрицателен.
Наконец, рассмотрим треугольник с сторонами \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\). Применяем ту же формулу: \(13^{2} = 5^{2} + 12^{2} — 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos \angle C\). Вычисляем квадраты: \(169 = 25 + 144 — 120 \cos \angle C\), то есть \(169 = 169 — 120 \cos \angle C\). Переносим: \(120 \cos \angle C = 169 — 169 = 0\), значит \(\cos \angle C = 0\). Косинус равный нулю соответствует прямому углу, следовательно, угол \(C\) прямой, и треугольник прямоугольный.
