ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 835 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Одна из сторон треугольника равна 21 см, а две другие стороны относятся как 3 : 8. Найдите неизвестные стороны треугольника, если угол между ними равен 60°.
Дано: \( AB = 21 \), \( AC : BC = 3 : 8 \), угол \( \angle ACB = 60^\circ \).
Пусть \( AC = 3x \), \( BC = 8x \).
По теореме косинусов:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \).
Подставляем:
\( 21^2 = (3x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \cos 60^\circ \).
\( 441 = 9x^2 + 64x^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \frac{1}{2} \).
\( 441 = 9x^2 + 64x^2 — 24x^2 \).
\( 441 = 49x^2 \).
\( x^2 = \frac{441}{49} = 9 \).
\( x = 3 \).
Тогда:
\( AC = 3 \cdot 3 = 9 \),
\( BC = 8 \cdot 3 = 24 \).
Ответ: \( 9 \) см; \( 24 \) см.
Дано, что длина стороны \( AB \) равна 21 см, а отношение длин сторон \( AC \) и \( BC \) равно 3 к 8. Также известно, что угол \( \angle ACB \) равен 60 градусам. Чтобы найти длины сторон \( AC \) и \( BC \), сначала обозначим длины этих сторон через переменную \( x \). Пусть \( AC = 3x \), а \( BC = 8x \). Это соответствует заданному отношению \( 3 : 8 \), где \( x \) — неизвестный множитель, который нам нужно определить.
Для решения задачи применим теорему косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это можно записать так: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB \). Подставим в это уравнение известные значения: \( 21^2 = (3x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \cos 60^\circ \).
Вычислим сначала квадрат длины стороны \( AB \), он равен \( 21^2 = 441 \). Далее возведём в квадрат выражения для \( AC \) и \( BC \): \( (3x)^2 = 9x^2 \), \( (8x)^2 = 64x^2 \). Косинус угла 60 градусов равен \( \frac{1}{2} \), поэтому подставим это значение в уравнение. Получаем: \( 441 = 9x^2 + 64x^2 — 2 \cdot 3x \cdot 8x \cdot \frac{1}{2} \). Упростим выражение: \( 441 = 9x^2 + 64x^2 — 24x^2 \). Сложим коэффициенты при \( x^2 \): \( 9 + 64 — 24 = 49 \), значит уравнение примет вид \( 441 = 49x^2 \).
Теперь решим уравнение для \( x \). Разделим обе части на 49: \( x^2 = \frac{441}{49} = 9 \). Извлечём квадратный корень: \( x = 3 \). Зная значение \( x \), найдём длины сторон \( AC \) и \( BC \): \( AC = 3x = 3 \cdot 3 = 9 \) см, \( BC = 8x = 8 \cdot 3 = 24 \) см. Таким образом, длины сторон \( AC \) и \( BC \) равны 9 и 24 сантиметрам соответственно.
