ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 836 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Одна из сторон треугольника равна 3 см, а вторая сторона — 7 см, причём угол, противолежащий второй стороне, равен 60°. Найдите неизвестную сторону треугольника.
Дано: \( AB = 3 \), \( AC = \sqrt{7} \), \(\angle B = 60^\circ \).
По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Подставим: \( 7 = 9 + BC^2 — 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{1}{2} \).
Упростим: \( 7 = 9 + BC^2 — 3 BC \).
Переносим всё в левую сторону: \( BC^2 — 3 BC + 2 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \).
Корни: \( BC_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( BC_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).
Ответ: 1 см; 2 см.
В треугольнике \( ABC \) нам даны две стороны: \( AB = 3 \) см и \( AC = \sqrt{7} \) см, а также угол \( \angle B = 60^\circ \), который находится между сторонами \( AB \) и \( BC \). Чтобы найти сторону \( BC \), воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает три стороны треугольника и угол между ними. Теорема косинусов говорит, что квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае формула примет вид: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Подставим известные значения в формулу. Сначала возьмём квадрат стороны \( AC \), это будет \( (\sqrt{7})^2 = 7 \). Сторона \( AB \) равна 3, значит \( AB^2 = 9 \). Косинус угла \( 60^\circ \) равен \( \frac{1}{2} \). Тогда уравнение примет вид: \( 7 = 9 + BC^2 — 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{1}{2} \). Умножим числа: \( 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \), поэтому уравнение станет \( 7 = 9 + BC^2 — 3 BC \).
Теперь перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \( BC \). Для этого вычтем 7 из обеих частей: \( 0 = 9 — 7 + BC^2 — 3 BC \), или \( 0 = 2 + BC^2 — 3 BC \). Перепишем уравнение в стандартной форме: \( BC^2 — 3 BC + 2 = 0 \). Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 2 \). Получаем \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \).
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле \( BC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем: \( BC = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \). Первый корень: \( BC_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \). Второй корень: \( BC_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \). Таким образом, сторона \( BC \) может быть либо 1 см, либо 2 см.
Ответ: 1 см; 2 см.
