ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 837 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Одна из сторон параллелограмма на 4 см больше другой, а его диагонали равны 12 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма.
Из условия: \(AD = AB + 4\), \(BD = 12\), \(AC = 14\).
По теореме косинусов для треугольника \(BAD\): \(144 = AB^2 + (AB + 4)^2 — 2 \cdot AB \cdot (AB + 4) \cdot \cos \angle A\).
Для треугольника \(ADC\): \(196 = (AB + 4)^2 + AB^2 + 2 \cdot AB \cdot (AB + 4) \cdot \cos \angle A\).
Сложим уравнения: \(340 = 2 AB^2 + 2 (AB + 4)^2\).
Раскроем скобки: \(340 = 4 AB^2 + 16 AB + 32\).
Упростим: \(4 AB^2 + 16 AB — 308 = 0\), делим на 4: \(AB^2 + 4 AB — 77 = 0\).
Решаем: \(D = 16 + 308 = 324\), \(AB = \frac{-4 \pm 18}{2}\), выбираем \(AB = 7\).
Тогда \(AD = 11\).
Периметр: \(P = 2 (AB + AD) = 2 \times (7 + 11) = 36\).
В параллелограмме \(ABCD\) даны стороны и диагонали, и нужно найти периметр. Из условия известно, что сторона \(AD\) длиннее стороны \(AB\) на 4 см, то есть \(AD = AB + 4\). Также даны длины диагоналей: \(BD = 12\) см и \(AC = 14\) см. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны, значит \(CD = AB\) и \(BC = AD\). Для решения задачи важно использовать свойства диагоналей и углов в параллелограмме, а также теорему косинусов в треугольниках, образованных диагоналями.
Рассмотрим сначала треугольник \(BAD\), в котором известна диагональ \(BD\). По теореме косинусов длина диагонали связана со сторонами и углом между ними: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\). Подставим в эту формулу \(BD = 12\) и \(AD = AB + 4\), тогда получим уравнение: \(144 = AB^2 + (AB + 4)^2 — 2 \cdot AB \cdot (AB + 4) \cdot \cos \angle A\). Это уравнение связывает сторону \(AB\) и угол \(A\), но пока у нас две неизвестные — \(AB\) и \(\cos \angle A\).
Теперь рассмотрим треугольник \(ADC\). В нём диагональ \(AC\) равна 14 см, а стороны — \(AD\) и \(CD\). Поскольку \(CD = AB\), а угол при вершине \(D\) равен \(180^\circ — \angle A\), то \(\cos \angle D = — \cos \angle A\). Применим теорему косинусов к треугольнику \(ADC\): \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\). Подставим известные значения: \(196 = (AB + 4)^2 + AB^2 + 2 \cdot AB \cdot (AB + 4) \cdot \cos \angle A\). Обратите внимание, что знак перед косинусом изменился на плюс, потому что \(\cos \angle D = — \cos \angle A\).
Далее сложим оба уравнения, чтобы избавиться от косинуса. Сложение даёт: \(144 + 196 = (AB^2 + (AB + 4)^2 — 2 AB (AB + 4) \cos \angle A) + ((AB + 4)^2 +\)
\(+ AB^2 + 2 AB (AB + 4) \cos \angle A)\).
В правой части члены с косинусом взаимно уничтожаются, остаётся: \(340 = 2 AB^2 + 2 (AB + 4)^2\).
Раскроем скобки: \(340 = 2 AB^2 + 2 (AB^2 + 8 AB + 16) = 2 AB^2 + 2 AB^2 + 16 AB + 32 =\)
\(= 4 AB^2 + 16 AB + 32\).
Переносим всё в левую часть уравнения и упрощаем: \(4 AB^2 + 16 AB + 32 — 340 = 0\), что даёт \(4 AB^2 + 16 AB — 308 = 0\). Делим на 4 для удобства: \(AB^2 + 4 AB — 77 = 0\).
Решаем квадратное уравнение по формуле корней: дискриминант \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324\). Корни равны \(AB = \frac{-4 \pm 18}{2}\). Берём положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной: \(AB = \frac{-4 + 18}{2} = 7\). Тогда \(AD = AB + 4 = 7 + 4 = 11\).
Периметр параллелограмма — это сумма всех сторон, а так как противоположные стороны равны, то \(P = 2 (AB + AD) = 2 \times (7 + 11) = 2 \times 18 = 36\) см. Таким образом, периметр параллелограмма равен 36 см.
