ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 838 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В параллелограмме ABCD известно, что AD = a, BD = d, BD ⊥ AD. Найдите диагональ АС.
В треугольнике ABD по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{a^2 + d^2}\).
Косинус угла A равен \( \cos \angle A = \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}} \).
В параллелограмме \(BC = AD = a\), угол B равен \(180^\circ — \angle A\), значит
\( \cos \angle B = -\cos \angle A = — \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}} \).
По теореме косинусов для треугольника ABC:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = (a^2 + d^2) + a^2 — \)
\(-2 \cdot \sqrt{a^2 + d^2} \cdot a \cdot \left(- \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}}\right) = 2a^2 + d^2 + 2a^2 = 4a^2 + d^2\).
Значит, \(AC = \sqrt{4a^2 + d^2}\).
В параллелограмме \(ABCD\) даны стороны \(AD = a\) и диагональ \(BD = d\), при этом диагональ \(BD\) перпендикулярна стороне \(AD\). Это означает, что угол между диагональю \(BD\) и стороной \(AD\) равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник \(ABD\), в котором угол при вершине \(D\) прямой. Поскольку \(BD\) и \(AD\) — катеты этого прямоугольного треугольника, сторона \(AB\) является гипотенузой. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна корню из суммы квадратов катетов, то есть \(AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + d^2}\). Это важно, так как теперь у нас есть точное выражение для стороны \(AB\) через заданные величины.
Далее нужно найти косинус угла \(A\) в треугольнике \(ABD\). Угол \(A\) образован сторонами \(AB\) и \(AD\), и косинус этого угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае прилежащая сторона — это \(AD\), а гипотенуза — \(AB\). Следовательно, \( \cos \angle A = \frac{AD}{AB} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}} \). Это значение поможет нам определить угол \(B\) в параллелограмме, так как углы \(A\) и \(B\) связаны между собой. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180 градусов, значит \( \angle B = 180^\circ — \angle A \). Косинус угла \(B\) тогда равен \( \cos \angle B = — \cos \angle A = — \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}} \), так как косинус дополнительного угла равен минус косинусу исходного.
Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором нам необходимо найти длину диагонали \(AC\). Известно, что \(AB = \sqrt{a^2 + d^2}\), а \(BC = AD = a\) (так как в параллелограмме противоположные стороны равны). Для нахождения \(AC\) используем теорему косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \). Подставим известные значения: \( AC^2 = (a^2 + d^2) + a^2 — 2 \cdot \sqrt{a^2 + d^2} \cdot a \cdot \left(- \frac{a}{\sqrt{a^2 + d^2}}\right) \). Упростим выражение: минус перед косинусом и минус внутри косинуса дают плюс, а в произведении сокращается корень, поэтому получается \( AC^2 = a^2 + d^2 + a^2 + 2 a^2 = 4 a^2 + d^2 \). Следовательно, длина диагонали \(AC\) равна \( AC = \sqrt{4 a^2 + d^2} \). Это и есть окончательный ответ.
