ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 839 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В трапеции ABCD известно, что ВС ∥ AD, AD = 8 см, CD = \(\frac{4}{3}\) см. Окружность, проходящая через точки А, В и С, пересекает прямую AD в точке К, \(\angle AKB = 60^\circ\). Найдите отрезок ВК.
В трапеции \(ABCD\) известно, что \(AD \parallel BC\), \(AD=8\) см, \(CD=4\sqrt{3}\) см, \(\angle AKB=60^\circ\).
В четырехугольнике \(ABCK\) \(AK \parallel BC\), \(ABCK\) вписан в окружность, значит это равнобокая трапеция, поэтому \(AC=BK\).
Рассмотрим треугольник \(ACD\). По теореме синусов:
\(\frac{CD}{\sin \angle A} = \frac{AD}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle D}\).
Найдем \(\sin \angle C\):
\(\sin \angle C = \frac{AD \cdot \sin \angle A}{CD} = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} = 1\),
значит \(\angle C = 90^\circ\).
Тогда \(\angle D = 180^\circ — \angle A — \angle C = 180^\circ — 60^\circ — 90^\circ = 30^\circ\).
Теперь найдем \(AC\):
\(AC = \frac{CD \cdot \sin \angle D}{\sin \angle A} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\).
Так как \(BK = AC\), то \(BK = 4\) см.
В трапеции \(ABCD\) известно, что \(AD \parallel BC\), \(AD = 8\) см, \(CD = 4\sqrt{3}\) см, и угол \(AKB = 60^\circ\), где точка \(K\) — пересечение окружности, проходящей через точки \(A, B, C\), с прямой \(AD\).
Поскольку точки \(A, B, C, K\) лежат на одной окружности, четырехугольник \(ABCK\) является вписанным. Из условия трапеции и вписанности следует, что \(ABCK\) — равнобокая трапеция с основаниями \(AK\) и \(BC\), которые параллельны.
В равнобокой трапеции углы при основании равны, значит \(\angle KAC = \angle AKB = 60^\circ\). Из этого следует, что отрезки \(AC\) и \(BK\) равны, то есть \(AC = BK\).
Рассмотрим треугольник \(ACD\). По теореме синусов справедливо равенство:
\(\frac{CD}{\sin \angle A} = \frac{AD}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle D}\).
Подставим известные длины и угол: \(CD = 4\sqrt{3}\), \(AD = 8\), \(\angle A = 60^\circ\).
Найдем \(\sin \angle C\) из соотношения:
\(\sin \angle C = \frac{AD \cdot \sin \angle A}{CD} = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} = 1\).
Отсюда \(\angle C = 90^\circ\).
Угол \(D\) найдем как разность:
\(\angle D = 180^\circ — \angle A — \angle C = 180^\circ — 60^\circ — 90^\circ = 30^\circ\).
Теперь вычислим длину \(AC\) по теореме синусов:
\(AC = \frac{CD \cdot \sin \angle D}{\sin \angle A} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\).
Поскольку \(BK = AC\), то
\(BK = 4\) см.
