Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 84 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Для нахождения расстояния от точки \( A \) до колокольни \( B \), расположенной на другом берегу речки (рис. 19), с помощью вех, рулетки и прибора для измерения углов (теодолита) отметили на местности точку \( C \) такую, что \( \angle BAC = 42^\circ \), \( \angle ACB = 64^\circ \), \( AC = 20 \) м. Как найти расстояние от \( A \) до \( B \)? Найдите это расстояние.
Дано: \( \angle BAC = 42^\circ \), \( \angle ACB = 64^\circ \), \( AC = 20 \, м \).
Найти: \( AB \).
Решение:
В треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \), значит
\( \angle ABC = 180^\circ — 42^\circ — 64^\circ = 74^\circ \).
По теореме синусов:
\( \frac{AB}{\sin 64^\circ} = \frac{20}{\sin 74^\circ} \).
Отсюда
\( AB = 20 \cdot \frac{\sin 64^\circ}{\sin 74^\circ} \approx 20 \cdot \frac{0,898}{0,96} \approx 18,7 \, м \).
Ответ: \( AB \approx 18,7 \, м \).
В любом треугольнике сумма всех трёх углов равна 180 градусам. Это основное свойство треугольников, которое помогает нам найти неизвестный угол, если известны два других. В нашем случае даны углы \( \angle BAC = 42^\circ \) и \( \angle ACB = 64^\circ \). Чтобы найти третий угол \( \angle ABC \), нужно из 180 градусов вычесть сумму двух известных углов. Таким образом, вычисляем:
\( \angle ABC = 180^\circ — 42^\circ — 64^\circ = 74^\circ \).
Теперь у нас есть все три угла треугольника: \( 42^\circ \), \( 64^\circ \) и \( 74^\circ \).
Следующий шаг — использовать теорему синусов. Она утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон. Это значит, что
\( \frac{AB}{\sin 64^\circ} = \frac{AC}{\sin 74^\circ} = \frac{BC}{\sin 42^\circ} \).
Нам известна длина стороны \( AC = 20 \, м \), и нужно найти длину стороны \( AB \). Из равенства
\( \frac{AB}{\sin 64^\circ} = \frac{20}{\sin 74^\circ} \)
выразим \( AB \):
\( AB = 20 \cdot \frac{\sin 64^\circ}{\sin 74^\circ} \).
Чтобы вычислить это значение, нужно знать численные значения синусов углов 64° и 74°. Приближённо:
\( \sin 64^\circ \approx 0,898 \), \( \sin 74^\circ \approx 0,961 \).
Подставим эти значения в формулу:
\( AB \approx 20 \cdot \frac{0,898}{0,961} \).
Выполним деление в дроби:
\( \frac{0,898}{0,961} \approx 0,934 \).
Теперь умножим:
\( AB \approx 20 \cdot 0,934 = 18,7 \, м \).
Таким образом, длина стороны \( AB \) примерно равна 18,7 метрам.
