Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 840 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны — 6 см и 5 см. Найдите косинусы углов трапеции.
В трапеции \(ABCD\) \(\cos \angle B = -\cos \angle A\), \(\cos \angle C = -\cos \angle D\).
Для \(AC^2\): \(34 + 30 \cos \angle A = 85 — 84 \cos \angle D\), значит \(30 \cos \angle A + 84 \cos \angle D = 51\).
Для \(BD^2\): \(74 — 70 \cos \angle A = 45 + 36 \cos \angle D\), значит \(70 \cos \angle A + 36 \cos \angle D = 29\).
Решая систему:
| \(30 \cos \angle A + 84 \cos \angle D = 51\) |
| \(70 \cos \angle A + 36 \cos \angle D = 29\) |
Получаем \(\cos \angle D = \frac{9}{16}\), \(\cos \angle A = \frac{1}{8}\).
Ответ: \(\cos \angle A = \frac{1}{8}\), \(\cos \angle B = -\frac{1}{8}\), \(\cos \angle C = -\frac{9}{16}\), \(\cos \angle D = \frac{9}{16}\).
В трапеции \(ABCD\) углы при основаниях связаны так: \(\angle B = 180^\circ — \angle A\), поэтому \(\cos \angle B = -\cos \angle A\), и \(\angle C = 180^\circ — \angle D\), значит \(\cos \angle C = -\cos \angle D\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\). По теореме косинусов для стороны \(AC\) имеем: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Подставим известные значения: \(AB = 5\), \(BC = 3\), и \(\cos \angle B = -\cos \angle A\). Тогда \(AC^2 = 5^2 + 3^2 — 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-\cos \angle A) = 25 + 9 + 30 \cos \angle A = 34 +\)
\(+ 30 \cos \angle A\).
Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). По теореме косинусов для той же стороны \(AC\) имеем: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\). Подставим \(AD = 7\), \(CD = 6\): \(AC^2 = 7^2 + 6^2 — 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos \angle D = 49 + 36 — 84 \cos \angle D = 85 — 84 \cos \angle D\).
Приравниваем два выражения для \(AC^2\): \(34 + 30 \cos \angle A = 85 — 84 \cos \angle D\). Переносим все в одну сторону: \(30 \cos \angle A + 84 \cos \angle D = 51\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\). По теореме косинусов для стороны \(BD\) имеем: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\). Подставляем: \(BD^2 = 25 + 49 — 70 \cos \angle A = 74 — 70 \cos \angle A\).
Рассмотрим треугольник \(BCD\). По теореме косинусов для стороны \(BD\) имеем: \(BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle C\). Подставляем \(BC = 3\), \(CD = 6\), и \(\cos \angle C = -\cos \angle D\): \(BD^2 = 9 + 36 + 36 \cos \angle D = 45 + 36 \cos \angle D\).
Приравниваем два выражения для \(BD^2\): \(74 — 70 \cos \angle A = 45 + 36 \cos \angle D\). Переносим все в одну сторону: \(29 = 70 \cos \angle A + 36 \cos \angle D\).
Получаем систему уравнений:
| \(30 \cos \angle A + 84 \cos \angle D = 51\) |
| \(70 \cos \angle A + 36 \cos \angle D = 29\) |
Умножим первое уравнение на 7: \(210 \cos \angle A + 588 \cos \angle D = 357\).
Умножим второе уравнение на 3: \(210 \cos \angle A + 108 \cos \angle D = 87\).
Вычтем второе уравнение из первого: \((210 — 210) \cos \angle A + (588 — 108) \cos \angle D = 357 — 87\), то есть \(480 \cos \angle D = 270\).
Отсюда \(\cos \angle D = \frac{270}{480} = \frac{9}{16}\).
Подставим \(\cos \angle D = \frac{9}{16}\) в первое уравнение: \(30 \cos \angle A + 84 \cdot \frac{9}{16} = 51\), то есть \(30 \cos \angle A + 47.25 = 51\).
Вычисляем: \(30 \cos \angle A = 3.75\), значит \(\cos \angle A = \frac{3.75}{30} = \frac{1}{8}\).
Учитывая связь углов, получаем: \(\cos \angle B = -\frac{1}{8}\), \(\cos \angle C = -\frac{9}{16}\).
Ответ: \(\cos \angle A = \frac{1}{8}\), \(\cos \angle B = -\frac{1}{8}\), \(\cos \angle C = -\frac{9}{16}\), \(\cos \angle D = \frac{9}{16}\).
