ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 841 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D, BD = 1 см, AD = 5 см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите отрезок CD.

Краткий ответ:

Пусть \(CE=CF=x\). Тогда \(BC=1+x\), \(AC=5+x\), \(AB=6\). Полупериметр \(p=\frac{6+(1+x)+(5+x)}{2}=6+x\). Радиус \(r=BD \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3\). Площадь \(S=pr=\sqrt 3(6+x)\) и \(S=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (1+x) \cdot \sin 120^\circ = \frac{3\sqrt 3}{2}(1+x)\). Приравниваем: \(\sqrt 3(6+x) = \frac{3\sqrt 3}{2}(1+x)\). Делим на \(\sqrt 3\): \(6+x = \frac{3}{2}(1+x)\). Решаем: \(x=9\), значит \(BC=10\). По теореме косинусов: \(CD^2=1^2 + 10^2 — 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 111\). Следовательно, \(CD=\sqrt{111}\).

Подробный ответ:

Пусть \(O\) — центр вписанной окружности треугольника \(ABC\), а \(D\) — точка касания окружности со стороной \(AB\). Из условия известно, что \(BD=1\), \(AD=5\), а угол \(ABC=120^\circ\).

Обозначим точки касания окружности со сторонами \(BC\) и \(AC\) как \(E\) и \(F\) соответственно. Тогда по свойству касательных от одной точки к окружности длины касательных равны: \(BE=BD=1\), \(AF=AD=5\).

Пусть \(CE=CF=x\). Тогда длины сторон треугольника будут: \(AB=AD+BD=5+1=6\), \(BC=BE+EC=1+x\), \(AC=AF+FC=5+x\).

Полупериметр треугольника равен \(p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{6+(1+x)+(5+x)}{2}=\frac{12+2x}{2}=6+x\).

Радиус вписанной окружности \(r=OD\). В треугольнике \(OBD\) угол при вершине \(B\) равен половине угла \(ABC\), то есть \(60^\circ\). Так как радиус перпендикулярен касательной, угол при \(D\) равен \(90^\circ\). Тогда \(r=OD=BD \cdot \tan 60^\circ=1 \cdot \sqrt 3=\sqrt 3\).

Площадь треугольника можно найти двумя способами. Через стороны и угол: \(S=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (1+x) \cdot \frac{\sqrt 3}{2} = \frac{3\sqrt 3}{2}(1+x)\).

Через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(S=pr=(6+x)\sqrt 3\).

Приравниваем площади: \((6+x)\sqrt 3 = \frac{3\sqrt 3}{2}(1+x)\). Делим обе части на \(\sqrt 3\): \(6+x = \frac{3}{2}(1+x)\).

Раскрываем скобки: \(6+x = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} x\). Переносим все в одну сторону: \(6 — \frac{3}{2} = \frac{3}{2} x — x\), или \( \frac{9}{2} = \frac{1}{2} x\). Умножаем обе части на 2: \(9 = x\).

Таким образом, \(x=9\), значит \(BC=1+9=10\).

Чтобы найти \(CD\), используем теорему косинусов в треугольнике \(BCD\) с углом \(120^\circ\): \(CD^2 = BD^2 + BC^2 — 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos 120^\circ = 1^2 + 10^2 — 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\)
\( = 1 + 100 + 10 = 111\).

Отсюда \(CD = \sqrt{111}\).

Оцени решение