ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 843 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см и образует с этой стороной угол, равный 60°.
Дано: \( BD \) — биссектриса угла \( B \), \( AD = 3 \), \( CD = 4 \), \( \angle ADB = 60^\circ \). Найти: \( BD \).
1) По свойству биссектрисы: \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{4} \), значит \( AB = \frac{3}{4} BC \).
2) Угол \( \angle BDC = 180^\circ — \angle ADB = 120^\circ \).
3) В треугольнике \( ABD \) по теореме косинусов: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 — 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB \).
Подставляем: \( \left(\frac{3}{4} BC\right)^2 = 3^2 + BD^2 — 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \frac{1}{2} \), то есть \( \frac{9}{16} BC^2 = 9 + BD^2 — 3 BD \).
4) В треугольнике \( ACD \) по теореме косинусов: \( BC^2 = CD^2 + BD^2 — 2 \cdot CD \cdot BD \cdot \cos \angle BDC \).
Подставляем: \( BC^2 = 4^2 + BD^2 — 2 \cdot 4 \cdot BD \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \), получаем \( BC^2 = 16 + BD^2 + 4 BD \).
5) Из первого уравнения выразим \( BC^2 \): \( BC^2 = \frac{16}{9} (9 + BD^2 — 3 BD) = 16 + \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD \).
6) Подставим во второе уравнение: \( 16 + \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD = 16 + BD^2 + 4 BD \).
7) Сократим на 16 и приведем к общему виду: \( \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD = BD^2 + 4 BD \).
8) Переносим все в одну сторону: \( \frac{7}{9} BD^2 — \frac{28}{3} BD = 0 \).
9) Вынесем \( BD \): \( BD \left(\frac{7}{9} BD — \frac{28}{3}\right) = 0 \).
10) Решаем: \( BD = 0 \) или \( \frac{7}{9} BD = \frac{28}{3} \), значит \( BD = 12 \).
Ответ: \( BD = 12 \) см.
В треугольнике \( ABC \) дана биссектриса \( BD \) угла \( B \), при этом \( AD = 3 \) см, \( CD = 4 \) см, и угол \( \angle ADB = 60^\circ \). Нужно найти длину биссектрисы \( BD \).
По свойству биссектрисы, точка \( D \) делит сторону \( AC \) в отношении сторон \( AB \) и \( BC \), то есть \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD} = \frac{3}{4} \). Из этого следует, что \( AB = \frac{3}{4} BC \).
Рассмотрим угол \( \angle BDC \). Поскольку точки \( A \), \( D \), \( C \) лежат на одной прямой, угол \( \angle BDC \) является внешним по отношению к углу \( \angle ADB \), и его величина равна \( 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику \( ABD \). В этом треугольнике:
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 — 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB \).
Подставим известные значения:
\( \left(\frac{3}{4} BC\right)^2 = 3^2 + BD^2 — 2 \cdot 3 \cdot BD \cdot \cos 60^\circ \).
Поскольку \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), уравнение примет вид:
\( \frac{9}{16} BC^2 = 9 + BD^2 — 3 BD \).
Далее применим теорему косинусов к треугольнику \( ACD \):
\( BC^2 = CD^2 + BD^2 — 2 \cdot CD \cdot BD \cdot \cos \angle BDC \).
Подставим значения:
\( BC^2 = 4^2 + BD^2 — 2 \cdot 4 \cdot BD \cdot \cos 120^\circ \).
Так как \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), получаем:
\( BC^2 = 16 + BD^2 + 4 BD \).
Из уравнения для \( \frac{9}{16} BC^2 \) выразим \( BC^2 \):
\( BC^2 = \frac{16}{9} (9 + BD^2 — 3 BD) = 16 + \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD \).
Подставим это выражение в уравнение для \( BC^2 \) из треугольника \( ACD \):
\( 16 + \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD = 16 + BD^2 + 4 BD \).
Сократим по 16 и перенесем все в одну сторону:
\( \frac{16}{9} BD^2 — \frac{16}{3} BD — BD^2 — 4 BD = 0 \).
Упростим:
\( \left(\frac{16}{9} — 1\right) BD^2 — \left(\frac{16}{3} + 4\right) BD = 0 \).
Вычислим коэффициенты:
\( \frac{7}{9} BD^2 — \frac{28}{3} BD = 0 \).
Вынесем \( BD \) за скобки:
\( BD \left(\frac{7}{9} BD — \frac{28}{3}\right) = 0 \).
Отсюда либо \( BD = 0 \), что невозможно, либо
\( \frac{7}{9} BD = \frac{28}{3} \).
Умножим обе части на \( \frac{9}{7} \):
\( BD = \frac{28}{3} \cdot \frac{9}{7} = 12 \).
Ответ: \( BD = 12 \) см.
