ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 844 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC, BD = a, \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle C = 75^\circ\). Найдите отрезок AD.
Дано: \(BD\) — биссектриса угла \(B\), \(BD = a\), \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle C = 75^\circ\).
Найти: \(AD\).
Решение:
\(\angle B = 180^\circ — 45^\circ — 75^\circ = 60^\circ\).
\(\angle ABD = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ\).
В треугольнике \(ABD\) по теореме синусов:
\(\frac{AD}{\sin \angle B} = \frac{BD}{\sin \angle A}\).
Отсюда:
\(AD = \frac{BD \cdot \sin \angle B}{\sin \angle A} = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\).
Подставляем значения:
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Тогда:
\(AD = a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).
Ответ: \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
В треугольнике \(ABC\) даны углы \(\angle A = 45^\circ\) и \(\angle C = 75^\circ\). Чтобы определить длину отрезка \(AD\), нужно сначала найти третий угол \(\angle B\), так как сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle B = 180^\circ — \angle A — \angle C = 180^\circ — 45^\circ — 75^\circ = 60^\circ\). Это важный шаг, так как биссектриса \(BD\) делит угол \(B\) на два равных угла, и нам нужно знать величину одного из них для дальнейших вычислений.
Поскольку \(BD\) — биссектриса угла \(B\), она делит угол \(60^\circ\) пополам, и каждый из углов при вершине \(B\) в треугольнике \(ABD\) равен \(30^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\), где нам известна длина \(BD = a\) и углы \(\angle ABD = 30^\circ\) и \(\angle BAD = 45^\circ\). Чтобы найти длину \(AD\), применим теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. В нашем случае это выражается формулой \(\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}\).
Подставим известные значения в формулу: \(\frac{AD}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\sin 45^\circ}\). Отсюда выразим \(AD\): \(AD = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\). Теперь вычислим значения синусов: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), а \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляя эти значения, получаем \(AD = a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Таким образом, длина отрезка \(AD\) равна \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\).
