ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 845 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите отношение сторон равнобедренного треугольника, один из углов которого равен 120°.

\(AB : BC : AC = 1 : 1 : \sqrt{3}\)

Пусть \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), тогда \( AB = BC = a \), а \( AC = b \). По условию \( \angle ABC = 120^\circ \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), значит углы при основании равны и равны \( x \). Тогда \( 2x + 120^\circ = 180^\circ \), откуда \( 2x = 60^\circ \) и \( x = 30^\circ \).

Используем теорему синусов: \( \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 120^\circ} \).

Подставляем значения синусов: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \sin 120^\circ = \sin (180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Получаем уравнение: \( \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \), откуда \( 2a = \frac{2b}{\sqrt{3}} \), следовательно \( a = \frac{b}{\sqrt{3}} \).

Таким образом, отношение сторон: \( AB : BC : AC = a : a : b = 1 : 1 : \sqrt{3} \).