ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 846 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике ABC известно, что АС = \(\frac{6}{3}\) см, \(\angle ABC = 60^\circ\). Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника АВС и точки А и С.
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = 6 \sqrt{3}\) см, \(\angle ABC = 60^\circ\). Тогда \(\angle A + \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).
Угол при точке \(D\) (центре вписанной окружности) равен \(\angle ADC = 180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 120^\circ\).
Дуга \(AC\) окружности, проходящей через \(A, C, D\), равна \(2 \times 120^\circ = 240^\circ\).
Угол в центре окружности \(E\) при точке \(AEC = 120^\circ\).
По теореме косинусов для треугольника \(AEC\):
\(AC^2 = AE^2 + CE^2 — 2 \cdot AE \cdot CE \cdot \cos 120^\circ\).
Подставляем:
\((6 \sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 — 2 R^2 \cdot \cos 120^\circ\),
\(36 \cdot 3 = 2 R^2 — 2 R^2 \cdot (-\frac{1}{2})\),
\(108 = 2 R^2 + R^2 = 3 R^2\),
Отсюда \(R^2 = \frac{108}{3} = 36\), значит \(R = 6\) см.
Ответ: \(6\) см.
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = 6 \sqrt{3}\) см, а угол при вершине \(B\) равен \(60^\circ\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому сумма углов при вершинах \(A\) и \(C\) равна \(180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).
Точка \(D\) — центр вписанной окружности, значит она лежит на биссектрисах углов треугольника. Угол при точке \(D\) в треугольнике \(ADC\) равен \(180^\circ\) минус сумма половин углов при \(A\) и \(C\), то есть \(180^\circ — \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 120^\circ\).
Так как \(A, C, D\) лежат на одной окружности, угол \(ADC\) — вписанный, и он опирается на дугу \(AC\). Угол в центре, опирающийся на ту же дугу, равен \(2 \times 120^\circ = 240^\circ\).
Следовательно, дуга \(AC\) окружности, проходящей через точки \(A, C, D\), равна \(240^\circ\), а оставшаяся дуга \(ADC\) равна \(360^\circ — 240^\circ = 120^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(AEC\), где \(E\) — центр окружности, радиус которой нужно найти. В этом треугольнике \(AE = CE = R\) — радиусы окружности, а угол при вершине \(E\) равен \(120^\circ\).
По теореме косинусов для треугольника \(AEC\) имеем:
\(AC^2 = AE^2 + CE^2 — 2 \cdot AE \cdot CE \cdot \cos 120^\circ\).
Подставим известные значения:
\((6 \sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 — 2 R^2 \cdot \cos 120^\circ\).
Вычислим:
\(36 \cdot 3 = 2 R^2 — 2 R^2 \cdot (-\frac{1}{2})\).
Это даёт:
\(108 = 2 R^2 + R^2 = 3 R^2\).
Отсюда:
\(R^2 = \frac{108}{3} = 36\), значит \(R = 6\) см.
Ответ: \(6\) см.
