ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 848 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите биссектрису треугольника АВС, проведённую из вершины А, если \(\angle BAC = a\), AC = b, AB = c.

\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\)
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin a\)
\(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\)
\(\frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\)
\(c \cdot b \cdot \sin a = AD \cdot (c + b) \cdot \sin \frac{a}{2}\)
\(AD = \frac{c \cdot b \cdot \sin a}{(b + c) \cdot \sin \frac{a}{2}}\)

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\), которая делит угол \(BAC\) на два равных угла по \( \frac{a}{2} \).

Площадь треугольника \(ABC\) можно выразить через стороны \(AB = c\), \(AC = b\) и угол \(a\) между ними:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin a\).

Биссектриса \(AD\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника \(ABD\) и \(ACD\), у которых угол при вершине \(A\) равен \( \frac{a}{2} \).

Площадь треугольника \(ABD\) равна:
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\).

Площадь треугольника \(ACD\) равна:
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\).

Площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей \(ABD\) и \(ACD\):
\(S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}\).

Подставим выражения площадей:
\(\frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \cdot b \cdot AD \cdot \sin \frac{a}{2}\).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
\(c \cdot b \cdot \sin a = AD \cdot (c + b) \cdot \sin \frac{a}{2}\).

Выразим длину биссектрисы \(AD\):
\(AD = \frac{c \cdot b \cdot \sin a}{(b + c) \cdot \sin \frac{a}{2}}\).